Circuiti elettrici #01

Esercizi di Fisica svolti | Circuiti elettrici

Circuiti elettrici #01

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il problema

Questo è uno degli esercizi sui circuiti elettrici di livello base. Per risolverli ci basta conoscere la legge di Ohm e aver compreso cosa accade in un circuito quando si combinano elementi resistivi in serie e in parallelo.

L’esercizio è preso da “Physics Problem Solver” (n. 676, pag. 710). Può essere considerato un buon problema per il Liceo, ottimo per la preparazione per le facoltà quali Architettura o dell’area biomedica. Per alcune considerazioni che svolgeremo come approfondimento, può essere utile anche per studenti di Fisica o Ingegneria.

Testo
Tre resistenze sono collegate in parallelo ad una batteria da 12\,\textup{V}. Le resistenze hanno valori R_1=2\,\Omega, R_2=3\,\Omega e R_3=4\,\Omega. Si calcoli l’intensità di corrente erogata dalla batteria e l’intensità delle correnti che circolano nei tre resistori (considerando la batteria come ideale).

Esercizi-sui-circuiti-elettrici | Esercizi di Fisica svolti

fase 1: impostazione

step 1: leggere il testo con attenzione

Il testo è semplice e la figura ci aiuta: il generatore (batteria) fornisce una differenza di potenziale (uguale alla forza elettromotrice, per una batteria ideale) \mathcal{E} che è la stessa ai capi delle tre resistenze (collegamento in parallelo). La corrente che esce dalla batteria si suddivide nelle tre correnti che attraversano le resistenze, in modo che in ogni nodo la carica elettrica sia conservata (non si crea e non si accumula da qualche parte del circuito): questo è il contenuto della prima legge di Kirchoff (o “legge dei nodi“).

step 2: fare un disegno

Per questo esercizio il disegno fornito con il testo va più che bene. Aggiungiamo le correnti che circolano nel circuito, assegnando un verso arbitrario.

In circuiti più complessi non è sempre possibile stabilire a priori in quale verso circoli la corrente. Se, effettuando i calcoli, dovesse risultare una corrente di segno negativo, vorrebbe semplicemente dire che la corrente circola nel verso opposto a quello ipotizzato.

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step 3: scrivere dati e incognite

Dati

I dati sono forniti tutti in unità del S.I. e non dobbiamo fare alcuna trasformazione:

R_1=2\,\Omega

R_2=3\,\Omega

R_3=4\,\Omega

\mathcal{E}=12\,\textup{V}

step 4: fare un piano

Per calcolare la corrente erogata dalla batteria, possiamo sostituire il sistema di tre resistenze in parallelo con una resistenza equivalente.

Qualsiasi combinazione di resistenze in serie e in parallelo può essere sostituita da una opportuna resistenza equivalente, collegata in serie con il generatore.

Per quanto riguarda le correnti che scorrono nelle singole resistenze, poiché la tensione ai capi è sempre la stessa, ci aspettiamo intensità più piccole nelle resistenze più grandi.

Raccogliamo le idee
  • Possiamo sostituire le tre resistenze in parallelo con una resistenza equivalente, in serie con il generatore.
  • La corrente erogata dalla batteria si ottiene applicando la legge di Ohm al circuito con la resistenza equivalente.
  • Le correnti che circolano nelle tre resistenze si ottengono ancora dalla legge di Ohm.
  • La somma delle correnti I_1, I_2 e I_3 deve essere pari a I, per la legge dei nodi (conservazione della carica elettrica).

fase 2: soluzione

step 5: scrivere le equazioni

step 6: risolvere per via letterale

step 7: sostituire i valori numerici

Per mettere in atto il nostro piano, non ci resta che tradurre le nostre considerazioni in equazioni.

Iniziamo con il calcolare la resistenza equivalente delle tre in parallelo:

(1)   \begin{equation*}  \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \bigg( \frac{1}{2\Omega} +\frac{1}{3\Omega} + \frac{1}{4\Omega} \bigg) =\frac{13}{12}\,\Omega^{-1} \Rightarrow R_{eq} = \frac{12}{13}\,\Omega \simeq 0.92 \, \Omega \, . \end{equation*}

In casi come questo è consigliabile svolgere i calcoli con le frazioni passando subito ai valori numerici (tenendo conto delle opportune unità di misura delle grandezze).
Notiamo che i valori delle resistenze ci sono stati forniti con una sola cifra significativa. Quando si esegue una divisione, tuttavia, è ammissibile tenere una cifra significativa in più nel risultato (o tenere il valore espresso in forma di frazione).

A questo punto possiamo calcolare l’intensità di corrente erogata dal generatore, applicando la legge di Ohm al circuito-serie tra la batteria e la resistenza equivalente:

Esercizi sui circuiti | Circuito equivalente

 

(2)   \begin{equation*}  I = \frac{\mathcal{E}}{R_{eq}} = \frac{12\,\textup{V}}{\frac{12}{13}\Omega} = 13\,\textup{A} \, . \end{equation*}

Abbiamo determinato il valore della prima delle nostre incognite: I=13\,\textup{A}. Congrats!

Passiamo ora al calcolo dell’intensità delle correnti che scorrono nelle singole resistenze. Applicando ancora la legge di Ohm, e ricordando che nel collegamento in parallelo tutti i componenti hanno la stessa differenza di potenziale ai propri estremi, otteniamo:

(3)   \begin{eqnarray*}  I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1} = \frac{12\,\textup{V}}{2\,\Omega} = 6\,\textup{A} \,  , \nonumber \\ I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2} = \frac{12\,\textup{V}}{3\,\Omega} = 4\,\textup{A} \,  , \nonumner \\ I_3 = \frac{\mathcal{E}}{R_3} = \frac{12\,\textup{V}}{4\,\Omega} = 3\,\textup{A} \,  . \nonumber \end{eqnarray*}

Abbiamo esaurito la lista delle incognite! Concediamoci un momento di soddisfazione, prima di procedere (sempre!) alle necessarie verifiche!
Abbiamo trovato le correnti richieste: prima di passare alla verifica, fase importantissima, ti va di fermarti un secondo e farmi sapere se trovi utile quanto stai leggendo? Mi aiuterà a migliorare nei prossimi articoli! Se trovi interessante l’esercizio, potresti condividerlo su Facebook con i tuoi contatti.

Ti ringrazio in ogni caso. Ora è tempo della verifica!

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fase 3: verifica

step 8: controllare i risultati numerici

step 9: svolgere l’analisi dimensionale

I valori che abbiamo per le quattro correnti sembrano avere le giuste caratteristiche:

  • Sono espressi in \textup{A} = \textup{V}/\Omega.
  • Le resistenze più grandi sono attraversate da correnti più piccole, a parità di tensione ai propri capi.
  • Infine, la resistenza equivalente di più resistenze in parallelo è sempre più piccola della più piccola tra le resistenze: nel nostro caso, R_{eq}= 0.92\,\Omega < R_1 = 2\,\Omega < R_2 < R_3.
  • La somma delle correnti I_1+I_2+I_3= (6+4+3)\,\textup{A}= 13\,\textup{A} è pari alla corrente erogata dal generatore, I=13\,\textup{A}.

Quest’ultima verifica segue direttamente dalla definizione di R_{eq}, infatti:

(4)   \begin{equation*} I_1+I_2+I_3 = \frac{\mathcal{E}}{R_1}+\frac{\mathcal{E}}{R_2}+\frac{\mathcal{E}}{R_3}= \mathcal{E}\, \bigg(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3} \bigg) = \frac{\mathcal{E}}{R_{eq}} = I \, . \end{equation*}

In questo problema abbiamo utilizzato solo relazioni che esprimono direttamente delle leggi della Fisica di primaria importanza, come la legge di Ohm. Avendo già controllato che le correnti siano espresse in \textup{A} = \textup{V}/\Omega e che [R_{eq}]=\Omega, possiamo proseguire fiduciosi.

step 10: esaminare i casi limite

In un problema così “basic”, questo tipo di analisi è più utile come approfondimento che come verifica! Gli studenti che non siano di Fisica o Ingegneria possono passare alle considerazioni conclusive. Chi volesse approfondire, invece, è invitato a leggere anche l’analisi finale sui casi limite.

considerazioni conclusive

Abbiamo determinato tutti gli elementi incogniti del problema e verificato la consistenza della nostra soluzione, trovando:

 

 

Che cosa abbiamo imparato
  • Ogni circuito elettrico con resistenze in serie e in parallelo può essere analizzato studiando un circuito equivalente, con una opportuna resistenza equivalente in serie con il generatore.
  • La resistenza equivalente di un sistema di resistenze in parallelo è più piccola della più piccola tra le resistenze collegate.
  • Nel collegamento in parallelo, la tensione ai capi di ogni elemento è la stessa: ne segue che nelle resistenze più grandi scorre una corrente di intensità minore.
  • La corrente erogata dal generatore si ottiene dalla legge di Ohm, applicata al circuito equivalente.
  • Questa corrente si suddivide tra i vari elementi in parallelo, in modo che la somma totale delle intensità sia pari all’intensità della corrente entrante nel parallelo (legge dei nodi, ovvero conservazione della carica elettrica).
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approfondimenti

Per chi desiderasse andare un po’ più a fondo, possiamo tornare sull’analisi dei casi limite: cosa succede se una delle tre resistenze diventa molto grande? E se invece diventa piccolissima?

Un tratto di conduttore con resistenza nulla è ovviamente una astrazione. Se ciò fosse possibile, infatti, la corrente che circola in quel tratto non troverebbe alcuna “resistenza” e tenderebbe a crescere senza controllo. Dalla legge di Ohm vediamo che, se ad esempio R_1 \rightarrow 0, la corrispondente corrente avrebbe intensità infinita (si parla in questo caso di cortocircuito):

(6)   \begin{equation*} \lim_{R_1 \rightarrow 0} \frac{\mathcal{E}}{R_1} = +\infty \, . \end{equation*}

Ci si potrebbe domandare come possa essere soddisfatto il principio di conservazione della carica in queste condizioni. Per rispondere, ricordiamo che la R_{eq} è in ogni caso più piccola della più piccola delle resistenze connesse in parallelo: per quanto R_1 si avvicini a zero, R_{eq} sarà sempre più piccola di lei. Questo vuole anche dire che, per quanto grande diventi I_1, la corrente I avrà sempre intensità maggiore. In particolare, I continuerà ad essere la somma di I_1, I_2 e I_3! Questo si può vedere facilmente ricordando che ai capi delle tre resistenze c’è sempre la stessa d.d.p., pari a quella fornita dal generatore.

Se invece una delle tre resistenze dovesse diventare molto grande, la corrente che entrebbe in quel tratto di circuito sarebbe molto piccola, dovendo superare una “resistenza” elevata. È facile vedere dalla (1) che, se ad esempio R_1 \rightarrow \infty, la resistenza equivalente è data dal parallelo delle altre due. I_1 sarebbe zero e la corrente I si dividerebbe tra I_2 e I_3, sempre secondo la legge di Ohm e quella dei nodi.

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