Esercizi di Termodinamica per Farmacia e CTF #01

Termodinamica per Farmacia-CTF | Esercizi di Fisica svolti

Esercizi di Termodinamica per Farmacia e CTF #01

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Il problema

Ho ricevuto il testo di questo esercizio da una studentessa di Farmacia (Università di Camerino). È un problema tipico di Termodinamica, adatto anche per studenti di Medicina, Biologia/Geologia, Architettura o del Liceo. Per i corsi di Laurea dove la Fisica è un po’ più importante, deve essere considerato solo un “riscaldamento”.

Come vedi, sto cercando di risolvere e pubblicare gli esercizi che mi vengono inviati: quindi se anche tu hai qualche problema che non riesci a risolvere, prova a farmelo avere…cercherò di renderlo disponibile al più presto!
Testo
Considerando n=4 moli di gas perfetto monoatomico che si espande in modo isobaro ad una pressione p=10\,\textup{atm} tra il volume iniziale V_A=20\,\ell} e il volume finale V_B=200\,\ell e sapendo che la costante dei gas perfetti vale R=8.31\,\textup{J/(K mol)}, calcolare la variazione di temperatura, la variazione di energia interna e il lavoro compiuto dal gas lungo tale trasformazione.

Come sempre, seguiremo le considerazioni esposte nella guida di Un po’ di Fisica nel procedere con la risoluzione del problema. Se ancora non sei familiare con le 3 fasi e i 10 step utilizzati su questa pagina nel risolvere gli esercizi, ti consiglio di svolgere subito quella lettura, prima di proseguire con questo problema.

fase 1: impostazione

step 1: leggere il testo con attenzione

Il testo è un po’ involuto, ma le informazioni che ci servono sono presenti e chiare: stiamo trattando un sistema fisico che può essere descritto come un gas perfetto (o ideale). Abbiamo la quantità di gas, pressione e volume dello stato iniziale A; da quella condizione, il gas subisce una trasformazione verso lo stato B, durante la quale la pressione rimane costante, mentre il volume aumenta di 10 volte. Ci viene chiesto di determinare come cambiano la temperatura e l’energia interna del gas, e di calcolare il lavoro compiuto da gas mentre si espande.

Anche se il testo del problema non lo specifica, assumeremo che la trasformazione AB avvenga in modo reversibile/quasi-statico. Questo ci assicura che la pressione del sistema abbia sempre un valore ben definito, perché il gas attraversa una successione di stati di equilibrio.

step 2: fare un disegno

La trasformazione termodinamica da A a B può essere rappresentata come segue nel piano p-V (piano di Clapeyron):

Termodinamica | Gas perfetto | Esercizi di Fisica per Farmacia-CTF

In questo piano, una trasformazione isobara è rappresentata da un tratto orizzontale.

Se la trasformazione non fosse reversibile, non potremmo nemmeno disegnarla con un tratto continuo nel piano di Clapeyron: infatti ogni punto di quel piano rappresenta uno stato termodinamico di equilibrio per il sistema.

step 3: scrivere dati e incognite

Dati

I dati sono forniti in unità usuali per la Termodinamica (pressione in atmosfere e volume in litri). In generale, io tendo ad utilizzare quelle e fare eventuali conversioni per energia, lavoro e calore (in Joule) alla fine; in questo caso, tuttavia, visto che la costante dei gas è fornita dal testo, utilizziamo fin da subito le unità suggerite, ovvero quelle del S.I.: pressioni in Pascal (N/m^2), e volumi in m^3.

n=4\,\textup{mol}

p=10\,\textup{atm} = 1.013 \cdot 10^6\,\textup{N/m}^2

V_A=20\,\ell = 0.020 \,\textup{m}^3

V_B=200\,\ell = 0.200 \,\textup{m}^3

ai quali si aggiunge

R = 8.31\,\textup{J/(K mol)}

Abbiamo utilizzato 1\,\textup{atm} = 1.013\cdot 10^5\,\textup{N/m}^2 e 1\,\ell = 1\,\textup{dm}^3 = 10^{-3}\,\textup{m}^3.

step 4: fare un piano

Per descrivere gli stati di equilibrio di un gas perfetto e le trasformazioni termodinamiche tra di essi, è sufficiente utilizzare tre variabili termodinamiche: pressione, volume e temperatura. Queste grandezze, assieme alla quantità di gas (espressa come numero di moli, ad esempio), sono legate tra di loro attraverso l’equazione di stato dei gas perfetti. Il fatto che p, V e T siano legate vuol dire che ne bastano due per individuare lo stato dal sistema: la terza variabile può assumere solo un valore, quello determinato a partire dall’equazione di stato.

Inoltre, per un gas perfetto l’energia interna dipende solamente dalla temperatura: nota la variazione di temperatura, possiamo ricavare subito anche la variazione di energia interna.

Infine, il lavoro durante la trasformazione a pressione costante è anch’esso immediato da ricavare.

Sembra che abbiamo tutti gli ingredienti per determinare le incognite del problema: possiamo stilare un piano dettagliato e metterlo subito dopo in pratica.

Raccogliamo le idee
  • Il sistema studiato può essere descritto come n moli di gas perfetto.
  • Dello stato A conosciamo p e V: l’equazione di stato ci permette di ricavare T_A.
  • Anche dello stato finale B conosciamo p e V: possiamo ricavare T_B e di conseguenza la differenza T_B-T_A = \Delta T.
  • Per un gas perfetto l’energia interna dipende esclusivamente dalla temperatura: nota \Delta T possiamo calcolare subito \Delta U_{AB}.
  • Il calcolo del lavoro lungo l’isobara richiede il valore di p e quello dei volumi iniziale e finale.
Ricordiamo che il valore numerico del lavoro lungo una trasformazione AB è anche pari all’area sottesa dalla curva AB nel piano di Clapeyron; in questo caso L_{AB} è pari all’area del rettangolo di base V_B-V_A e altezza p:Lavoro come area | Fisica per Farmacia-CTF

fase 2: soluzione

step 5: scrivere le equazioni

step 6: risolvere per via letterale

Variazione di temperatura

Utilizziamo l’equazione di stato dei gas perfetti per ricavare la temperatura iniziale e finale.

Per lo stato iniziale A, si ha:

(1)   \begin{equation*}  pV_A = nRT_A \Rightarrow T_A = \frac{pV_A}{nR} \, . \end{equation*}

La temperatura dello stato finale B può essere ricavata allo stesso modo:

(2)   \begin{equation*}  pV_B = nRT_B \Rightarrow T_B = \frac{pV_B}{nR} \, . \end{equation*}

Attenzione! Ogni libro che tratti la Termodinamica vi proporrà una equazione che lega temperatura e volume in una trasformazione a pressione costante. Il mio consiglio è di non memorizzare questo tipo di relazioni, ma ricavare sempre tutto dall’equazione di stato (che è necessario sapere in ogni caso!). Vi mostro come procedere nel nostro caso.

Se p rimane costante (trasformazione isobara), V e T variano, mentre n (quantità di gas, espressa come numero di moli) ed R (costante universale dei gas perfetti) sicuramente non variano lungo la trasformazione. Utilizziamo quindi l’equazione di stato per isolare le quantità variabili da quelle costanti:

(3)   \begin{equation*}  \begin{array}{ll} pV_A = nRT_A & \Rightarrow \frac{p}{nR} = \frac{T_A}{V_A} \nonumber \\ pV_B = nRT_B & \Rightarrow \frac{p}{nR} = \frac{T_B}{V_B} \nonumber \end{array} \Rightarrow \frac{T_A}{V_A} = \frac{T_B}{V_B} \, . \end{equation*}

Se vogliamo ad esempio determinare T_B, segue semplicemente

(4)   \begin{equation*} T_B = T_A \, \frac{V_B}{V_A} \, . \end{equation*}

Immagino che molti di voi si sentano più a loro agio nell’imparare (o trascrivere) direttamente questa formula piuttosto che nel derivarla ogni volta dall’equazione di stato. Prendete in considerazione il mio consiglio, ma affidatevi sempre alla soluzione con la quale vi sentite più sicuri.

In realtà, dalle espressioni (1) e (2) per T_A e T_B possiamo ricavare direttamente la nostra prima incognita:

(5)   \begin{equation*}  \Delta T_{AB} = T_B - T_A = \frac{p}{nR}\,\big( V_B - V_A \big) \, . \end{equation*}

Variazione di energia interna

Per un gas perfetto, l’energia interna dipende esclusivamente dalla temperatura; nel caso del gas monoatomico, si ha in particolare:

(6)   \begin{equation*}  U = \frac{3}{2}\,nRT \, . \end{equation*}

Avendo già determinato la variazione di temperatura tra gli stati A e B, la corrispondente variazione di energia interna è data semplicemente da

(7)   \begin{equation*}  \Delta U_{AB} = \frac{3}{2}\,nR \Delta T_{AB} \, . \end{equation*}

Lavoro compiuto dal gas

Il calcolo del lavoro lungo l’isobara AB è dato da

(8)   \begin{equation*}  L_{AB} = p\cdot \big( V_B - V_A \big) \, . \end{equation*}

step 7: sostituire i valori numerici

Avendo ricavato le espressioni letterali per le incognite del problema ( \Delta T_{AB}, \Delta U_{AB} e L_{AB}) possiamo sostituire i valori dei dati e ricavare i risultati numerici desiderati:

(9)   \begin{equation*}  \Delta T_{AB} = \frac{p}{nR}\,\big( V_B - V_A \big) = \frac{1.013 \cdot 10^6\,\textup{N/m}^2}{4\,\textup{mol}\cdot 8.31\,\textup{J/(K mol)}}\,\big( 0.200 - 0.020 \big)\,\textup{m}^3 = 5490\,\textup{K} \, , \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato il fatto che 1\,\textup{J}=1\,\textup{Nm}.

Ovviamente si poteva procedere calcolando T_A e T_B utilizzando le relazioni (1) e (2): tuttavia, i valori di temperatura non sono richiesti per la soluzione del problema, e procedendo come ho suggerito si risparmia qualche passaggio (ovvero qualche possibilità di errore!). Per molti di voi, in ogni caso, procedere in questo secondo modo è sicuramente accettabile: non credo che sarete mai penalizzati per aver seguito una via (di pochissimo) più lunga.

Per quanto riguarda la variazione di energia interna, ripartendo dalla (7) otteniamo:

(10)   \begin{equation*}  \Delta U_{AB} = \frac{3}{2}\,nR \Delta T_{AB} = \frac{3}{2}\, 4\,\textup{mol}\cdot 8.31\,\textup{J/(K mol)}}\cdot 5490\,\textup{K} = 274\,\textup{kJ} \, . \end{equation*}

Infine, il valore del lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione si ottiene dalla (8):

(11)   \begin{equation*}  L_{AB} = p\cdot \big( V_B - V_A \big) = 1.013\cdot 10^6\,\textup{N/m}^2 \cdot 0.180\,\textup{m}^3 = 182\,\textup{kJ} \, . \end{equation*}

Fantastico! Siamo riusciti a determinare i valori numerici delle tre incognite del nostro problema. Concediamoci un breve attimo di celebrazione!
Prima di passare alla verifica del risultato…ti sembra utile l’esercizio svolto con questo livello di dettaglio? Troppe informazioni? Troppo poche?! Se ti va, aiutami a raggiungere più persone condividendo l’articolo su Facebook, o lasciando un “Mi piace” alla pagina di Un po’ di Fisica.

Grazie per il tuo feedback…e fai sempre la verifica, mi raccomando!

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fase 3: verifica

step 8: controllare i risultati numerici

La variazione di temperatura (9) potrebbe apparire un po’ grande; se avessimo calcolato le temperature T_A e T_B avremmo trovato valori di 610\,\textup{K} e 6100\,\textup{K} rispettivamente. Tutti questi valori sono però del tutto consistenti con i valori di pressione (10\,\textup{atm}) e volume (200\,\ell) forniti dal testo.

Il sistema si espande, mantenendo costante la pressione: è giusto che la temperatura salga (cresce di 10 volte, ovvera la stessa proporzione di crescita del volume), con conseguente aumento dell’energia interna. Quindi è corretto che sia \Delta T sia \Delta U siano positive lungo la trasformazione AB. Anche il lavoro compiuto dal sistema è positivo, ancora in seguito al fatto che il gas si espande.

Come unico approfondimento, notate che una espansione isobara richiede assorbimento di calore: in particolare, Q_{AB} risultata positivo e maggiore di L_{AB}: infatti parte del calore va in lavoro compiuto dal sistema, il resto serve ad aumentare la temperatura del gas e quindi l’energia interna.

step 9: svolgere l’analisi dimensionale

Essere diligenti è ottimo, ma non serve tediarsi oltre il necessario! Abbiamo usato formule di base della Termodinamica e ci sono poche possibilità di errore. In questo caso, è più importante familiarizzare con il fatto che \ell\,\textup{atm} è una unità di misura di lavoro/energia, corrispondente a circa 100\,\textup{J}: tornerà utile in moltissimi problemi.

step 10: esaminare i casi limite

Anche in questo caso, come quasi sempre negli esercizi di Termodinamica, non abbiamo derivato formule o espressioni particolari che possano giovare di questo tipo di analisi.

Ancora congratulazioni per aver portato a termine l’esercizio!
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