Lavoro ed Energia #001 | Esercizi rapidi

Lavoro e energia | Esercizi di fisica svolti

Lavoro ed Energia #001 | Esercizi rapidi

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Continuiamo la rubrica degli “Esercizi rapidi” con questa raccolta su lavoro e energia. Si tratta di esercizi davvero di base: devono essere considerati “di riscaldamento” persino per il Liceo; li ho assegnati alla primissima esercitazione sull’argomento (senza voto!) ai miei Studenti del Liceo Scientifico-Sportivo.

lavoro ed energia #1

esercizio 1: il secchio sollevato
Un secchio pieno di calce, di massa complessiva m=6\,\textrm{kg}, viene sollevato a velocità costante fino al terzo piano di una casa in costruzione, ad una altezza h=12\,\textrm{m} rispetto al livello della strada.
  1. Quanto lavoro compie la forza che solleva il secchio?
  2. Quanto lavoro compie la forza peso?
  3. È ragionevole l’ipotesi che il secchio si muova da terra fino al terzo piano a velocità costante?

soluzione

  • m=6\,\textrm{kg};
  • h=12\,\textrm{m}; aggiungiamo
  • g=10\,\textrm{N/kg}.
  • L;
  • L_P;
  • è ragionevole l’ipotesi che v sia costante durante lo spostamento del secchio?

Il lavoro compiuto è pari alla alla differenza di energia potenziale del secchio, dall’altezza h=0\,\textrm{m} fino ad h=12\,\textrm{m}.

Quando il secchio si trova a terra (possiamo supporre che sia fermo) è soggetto alla forza peso e alla reazione della superficie di appoggio. La forza peso è diretta verticalmente verso il basso; la reazione ha la stessa intensità, ma verso opposto: il secchio, infatti, non accelera né verso l’altro né verso il basso.

Quando il secchio è sospeso, in movimento verso il terzo piano, è in ogni caso soggetto alla forza peso: affinché salga, la forza che lo tira deve essere superiore alla forza peso, almeno per metterlo in moto: una volta acquisita una velocità verso l’alto, è sufficiente una forza di intensità pari alla forza peso per mantenerlo in moto verso l’alto.

Quando il secchio si ferma al terzo piano, è ancora soggetto alla forza peso: per farlo rallentare fino a velocità nulla sarà quindi necessario diminuire la forza diretta verso l’alto. Infine, se volessivo tenere il secchio alla stessa altezza, sarebbe nuovamente necessario bilanciare la forza peso con una di pari intensità.

Questo ci dice subito che il secchio non può muoversi a velocità costante da terra fino all’altezza h: infatti la velocità finale è nulla, e quella finale pure. Affinché il secchio salga, è necessario che la sua velocità prima aumenti e alla fine diminuisca: non potrà quindi essere costante per l’intero spostamento.

Se volessimo quindi determinare il lavoro compiuto dalla forza che solleva il secchio, sembrerebbe necessario conoscere i dettagli di come essa cambi durante il processo: tuttavia, ragionando in termini di energia tutto questo non ci serve.

Il lavoro speso per fornire energia cinetica al secchio (che all’inizio non ne ha, avendo velocità nulla) viene utilizzato per farla tornare al valore zero (anche alla fine il secchio è fermo).

Se anche il secchio in alcuni tratti avesse velocità maggiore rispetto ad altri momenti del tragitto, il bilancio definitivo del lavoro sarebbe lo stesso: al secchio rimane una energia potenziale dovuta al fatto che la sua altezza è stata aumentata di 12 m. Il lavoro svolto in fase di accelerazione è positivo, in quanto la forza netta e lo spostamento ha stessa direzione e stesso verso; quando invece il secchio viene rallentato, la forza netta è diretta verso il basso ed ha quindi verso opposto allo spostamento e il corrispondente lavoro negativo.

Ecco il punto di “forza” della descrizione in termini di energia, almeno nel caso di forze conservative!

Per approfondire questi aspetti, riprenderemo presto questa tipologia di esercizio, dedicandogli tutto lo spazio necessario!

    \[ L = mgh = 6\,\textrm{kg} \cdot 10\,\textrm{N/kg} \cdot 12\,\textrm{m} = 720\,\textrm{J} \, . \]

Il lavoro della forza peso è negativo: infatti la forza è diretta verso il basso, mentro lo spostamento avviene verso l’alto. In valoro assoluto questo
lavoro è uguale al precedente:

    \[ L_P = -mgh = -6\,\textrm{kg} \cdot 10\,\textrm{N/kg} \cdot 12\,\textrm{m} = -720\,\textrm{J} \, . \]

Alla terza domanda abbiamo già risposto: poiché il secchio parte fermo e viene fermato al terzo piano, la velocità non può essere costante per l’intero
processo.

lavoro ed energia #2

esercizio 2: spostamento orizzontale e forza peso
Una scatola piena di libri, del peso complessivo F_P = 55\,\textrm{N}, inizialmente ferma, viene spinta orizzontalmente sul pavimento per un tratto lungo d=4.2\,\textrm{m}. Lo spostamento dura un tempo \Delta t=6\,\textrm{s} e si può trascurare ogni forma di attrito tra scatola e pavimento.
  1. Qual è l’intensità della forza che spinge la scatola?
  2. Quanto lavoro viene compiuto sulla scatola?
  3. Quanto lavoro compie la forza peso?

soluzione

  • F_P=55\,\textrm{N};
  • v_0=0\,\textrm{m/s}; (la scatola è inizialmente ferma. Attenzione a tutte le informazioni presenti nel testo!)
  • d=4.2\,\textrm{m};
  • \Delta t=6\,\textrm{s};
  • g=10\,\textrm{N/kg}.
  • F;
  • L;
  • L_P.

La scatola è inizialmente ferma: affinché possa spostarsi, è necessario accelerarla e conferirle una velocità. Assumendo che la forza che spinge la scatola sia costante, anche l’accelerazione sarà costante e il moto uniformemente accelerato. Per ricavare la forza agente sul pacco, dobbiamo quindi sapere di quanto accelera. Questa informazione si può ricavare dal fatto che la scatola parte da ferma e percorre la distanza d in un tempo \Delta t, con accelerazione costante:

    \[ d = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2  \Rightarrow a = \frac{2d}{\left( \Delta t \right)^2} = \frac{2 \codt 4.2\,\textrm{m}}{36\,\textrm{s}^2} = 0.23\,\textrm{m/s}^2 \, . \]

Attenzione: quando facciamo il quadrato di \Delta t=6\,\textrm{s} facciamo il quadrato di “tutto”! Quindi (\Delta t)^2=36\,\textrm{s}^2.

Per poter applicare F=ma è necessario il valore della massa della scatola: questo si può ricavare facilmente dal valore della forza peso:

    \[ F_P = mg \Rightarrow m = \frac{F_P}{g} = \frac{55\,\textrm{N}}{10\,\textrm{N/kg}} = 5.5\,\textrm{kg} \, . \]

Poiché i valori dell’accelerazione e della massa non sono richiesti, non è in realtà necessario sostituire i valori numerici e calcolarli. Se possibile, il mio consiglio è quello di portare avanti il procedimento per via letterale. Sostituiremo i valori numerici solo quando avremo ottenuto una espressione letterale per l’incognita che cerchiamo, in funzione dei dati del problema.

Possiamo ora usare il valore (o l’espressione, se avete seguito il mio consiglio) di a e di m.

    \[ F= ma = \frac{F_P}{g} \cdot \frac{2d}{(\Delta t)^2} = 5.5\,\textrm{kg} \cdot 0.23\,\textrm{m/s}^2 \simeq 1.3\,\textrm{N} \, . \]

Il lavoro compiuto sul pacco è pari al prodotto della forza applicata per lo spostamento prodotto:

    \[ L = Fd = \frac{2\cdot F_P d^2}{g\cdot(\Delta t)^2} = 1.3\,\textrm{N} \cdot 4.2\,\textrm{m} \simeq 5.4\,\textrm{J} \, . \]

Il lavoro compiuto dalla forza peso è ovviamente nullo, in quanto la forza peso agisce in direzione verticale, mentre lo spostamento è orizzontale.

Quando forza e spostamento sono perpendicolari tra loro il lavoro compiuto è nullo.
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lavoro ed energia #3

esercizio 3: energia disponibile e altezza raggiungibile
Un lampadario ha massa m=6.6\,\textrm{kg}.
  1. Quanto lavoro è necessario per sollevarlo fino a un’altezza h=2.8\,\textrm{m}?
  2. Avendo a disposizione una energia E=150\,\textrm{J}, fino a quale altezza h^\prime è possibile sollevarle il lampadario?

soluzione

  • m=6.6\,\textrm{kg};
  • h=2.8\,\textrm{m};
  • E=150\,\textrm{J};
  • g=10\,\textrm{N/kg}.
  • L;
  • h^\prime.

Il lavoro necessario è pari alla differenza di energia potenziale tra la “configurazione” iniziale (lampadario a terra) e quella finale (lampadario ad altezza h):

    \[ L = mgh = 6.6\,\textrm{kg} \cdot 10\,\textrm{N/kg} \cdot 2.8\,\textrm{m} \simeq 185\,\textrm{J} \, . \]

Poiché l’energia a disposizione nella seconda domanda è inferiore a questo lavoro, il lampadario potrà essere sollevato fino ad una altezza inferiore ad h.

    \[ L^\prime = E = mgh^\prime \Rightarrow h^\prime = \frac{E}{mg} = \frac{150\,\textrm{J}}{6.6\,\textrm{kg} \cdot 10\,\textrm{N/kg}} \simeq 2.3\,\textrm{m} \, . \]

Il lavoro trovato per h^\prime è inferiore a quello di h, come previsto.

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