Lavoro ed Energia #002 | Esercizi rapidi

Esercizi di Fisica svolti | Lavoro ed energia

Lavoro ed Energia #002 | Esercizi rapidi

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Per la rubrica degli “Esercizi rapidi“, rimaniamo sul tema lavoro e energia. Il livello è ancora quello del Liceo, delle Facoltà dell’area biomedica, di Architettura e (come riscaldamento) di Chimica/Biologia/Scienze Naturali/Geologia.

lavoro ed energia #1

esercizio 1: la panca piana
Marco si esercita alla panca piana: solleva e fa scendere un bilanciere carico, per un peso totale di 340\,\textrm{N}. Le braccia di Marco sono lunghe 60\,\textrm{cm}. Assumendo che l’attrezzo si muova solo verticalmente, rimanendo sempre orizzontale, determina:
  1. quanto lavoro compie Marco durante la fase di salita;
  2. quanto lavoro compie Marco durante la fase di discesa;
  3. quanto lavoro compie la forza peso durante la fase di salita;
  4. quanto lavoro compie la forza peso durante la fase di discesa;
  5. stabilisci, infine, se è possibilie svolgere l’esercizio con velocità costante.

soluzione

  • F_P=340\,\textrm{N};
  • h=60\,\textrm{cm}=0.6\,\textrm{m}; aggiungiamo
  • g=10\,\textrm{N/kg}.
  • L^s_M;
  • L^d_M;
  • L^s_P;
  • L^d_P;
  • è ragionevole ipotizzare che la velocità del bilanciere sia costante durante l’esercizio?

Calcolo del lavoro

L’attrezzo è soggetto alla forza peso, che tende a farlo stare il più in basso possibile. Per poterlo sollevare, Marco deve esercitare una forza diretta verticalmente verso l’alto. Durante la fase di salita, la forza esercitata da Marco sposta il bilanciere nel proprio verso, mentre lo spostamento avviene in verso opposto a quello della forza peso. Nella fase di discesa avviene l’opposto: il bilanciere si sposta nello stesso verso della forza peso.

Pertanto il lavoro compiuto da Marco è positivo nella fase di salita, durante la quale il lavoro della forza peso è negativo. In questa fase, Marco aumenta l’energia potenziale del bilanciere.

Durante la discesa, l’energia potenziale dell’attrezzo diminuisce, perché questo si sposta verso il basso e la sua possibilità di trasformare l’energia potenziale in cinetica (ed eventualmente compiere lavoro su altri corpi) diminuisce.

Come osservato nell’articolo precedente su lavoro ed energia, non conosciamo i dettagli della forza esercitata da Marco sull’attrezzo; tuttavia, possiamo sempre calcolare il lavoro compiuto da questa forza sul bilanciere come variazione dell’energia potenziale del corpo. Lo spostamento verticale è pari alla lunghezza delle braccia di Marco.

    \[ L^s_M = \Delta E_P = mgh = F_P \cdot h = 340\,\textrm{N} \cdot 0.6\,\textrm{m} = 204\,\textrm{J} \, . \]

Ricorda che 1\,\textrm{J}=1\,\textrm{N}\cdot \textrm{m}=1\,\textrm{kg\,m}^2\textrm{s}^{-2}. Se usi un dato in \textrm{g} o \textrm{cm} anziché in \textrm{kg} e \textrm{m}, il risultato non sarà in \textrm{J}.

Nella fase di discesa, il lavoro compiuto da Marco ha lo stesso valore assoluto, ma segno negativo (in un certo senso, Marco “subisce” la forza di gravità che fa scendere l’attrezzo). Allo stesso tempo, il lavoro fatto dalla forza peso è uguale, ma di segno opposto, a quello svolto da Marco. Pertanto:

    \[ L^d_M = -204\,\textrm{J} \, ; \quad L^s_P = -204\,\textrm{J} \, ; \quad L^d_P = +204\,\textrm{J} \, . \]

Velocità costante?

Per quanto riguarda la possibilità di svolgere l’esercizio (la panca piana) a velocità costante, tieni conto che alla fine della salita e della discesa la velocità cambia segno: quindi c’è sempre un istante di tempo nel quale la velocità è zero. Dovendo essere zero all’inizio e alla fine di ogni fase (salita o discesa) e essere ovviamente diversa da zero durante la salita/discesa, la velocità non può essere costante! Tuttavia, risolvendo l’esercizio (di Fisica) attraverso la conservazione dell’energia non è necessario conoscere i dettagli di come la velocità cambi. Come abbiamo visto, è sufficiente associare il lavoro compiuto/subito alla variazione di energia potenziale: questa variazione dipende esclusivamente dal fatto che l’attrezzo cambia posizione (altezza), ma non dal modo con il quale ciò avviene.

lavoro ed energia #2

esercizio 2: salto in alto
Un atleta esegue il salto in alto. Supponeniamo di poter descrivere il suo corpo come un punto materiale, e che inoltre tutta l’energia cinetica acquistata nella rincorsa si trasformi in energia potenziale.
  1. A quale altezza può arrivare l’atleta, se stacca da terra quando la sua velocità è di 7\,\textrm{m/s}?
  2. Se parte da fermo, la rincorsa dura 3.5\,\textrm{s} e la sua massa è di 85\,\textrm{kg}, quale forza costante sarebbe necessario applicare per ottenere la stessa velocità al momento dello stacco da terra?

soluzione

  • v_F=7\,\textrm{m/s};
  • v_0=0\,\textrm{m/s}; (l’atleta parte da fermo: anche questo è un dato!)
  • \Delta t=3.5\,\textrm{s};
  • m=85\,\textrm{kg};
  • g=10\,\textrm{N/kg}.
  • h_{MAX};
  • F.

Altezza massima

Un istante prima di staccare da terra, l’atleta ha energia cinetica (corrispondente alla velocità v_F) e energia potenziale nulla (scegliendo il livello del suolo come riferimento). Salendo, questa energia viene “spesa” per guadagnare altezza (ovvero diventa energia potenziale). All’altezza massima, l’energia cinetica è zero (è stata spesa tutta). Possiamo quindi scrivere:

    \[ \frac{1}{2}\,m\,v^2_F = mgh_{MAX} \quad \Rightarrow \frac{1}{2}\,v^2_F = gh_{MAX} \quad \Rightarrow h_{MAX} = \frac{v^2_F}{2g} \, . \]

Notiamo che la massa non è necessaria per rispondere a questa domanda; m infatti si semplifica nell’uguaglianza precedente.
Si può arrivare allo stesso risultato anche per via “cinematica”, considerando il moto di un punto materiale che parte verticalmente con velocità v_F: soggetto alla forza di gravità, il punto rallenta fino a fermarsi, per poi iniziare la discesa. Per sapere a quale altezza massima possa arrivare devo risolvere due equazioni: una per la velocità, l’altra per lo spazio percorso. Dette v(t) e y(t) velocità e altezza a un certo tempo t, risulta:

    \begin{align*} v(t) & = v_F - g \cdot t \\ y(t) & = v_F \cdot t - \frac{1}{2}\,g\cdot t^2 \end{align*}

Ricaviamo dalla prima il tempo t_{MAX} necessario affinché la velocità diventi zero:

    \[ 0 = v_F - g \cdot t_{MAX} \Rightarrow t_{MAX}=\frac{v_F}{g} \, . \]

Sostituendo questo valore nella seconda equazione, scritta quando il corpo si trovo all’altezza massima h_{MAX}, troviamo:

    \[ h_{MAX} = v_F \cdot t_{MAX} - \frac{1}{2}\,g\cdot t^2_{MAX} = v_F \cdot \frac{v_F}{g} - \frac{1}{2}\,g\cdot \left(\frac{v_F}{g}\right)^2 \Rightarrow h_{MAX}=\frac{v^2_F}{2g} \, . \]

Utilizzando il principio di conservazione dell’energia arriviamo allo stesso risultato con un numero inferiore di passaggi.

Siamo arrivati in ogni caso all’espressione h_{MAX}=\frac{v^2_F}{2g}. Inseriamo i valori numerici per controllare se, con l’ipotesi iniziale (“tutta l’energia cinetica dovuta alla rincorsa viene convertita in energia potenziale”), questo semplice modello del salto in alto fornisca o meno un risultato ragionevole.

    \[ h_{MAX}=\frac{v^2_F}{2g} = \frac{(7\,\textrm{m/s})^2}{2\cdot 10\,\textrm{m/s}^2} \simeq \frac{49}{20}\,\textrm{m} = 2.45\,\textrm{m} \, . \]

Questo risultato è identico al record mondiale di salto in alto (maschile): 2.45\,\textrm{m}. Ovviamente il fatto che il nostro risultato sia numericamente uguale al record è un caso. Il modello è migliorabile in un paio di aspetti (a presto in un approfondimento!): tuttavia, era lecito immaginare che il risultato fosse in ogni caso dello stesso ordine di grandezza del valore correto, ovvero non dieci volte più grande (25\,\textrm{m}) o dieci volte più piccolo (25\,\textrm{cm}).

Forza necessaria

Per calcolare la forza necessaria a fornire, nel tempo della rincorsa, la stessa velocità finale a un atleta di quella massa, dobbiamo partire dal Secondo Principio della Dinamica: F=ma. Per valutare l’accelerazione necessaria, dobbiamo calcolare di quanto varia la velocità durante la rincorsa:

    \[ a \equiv \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_F-v_I}{\Delta t} = \frac{(7-0)\,\textrm{m/s}}{3.5\,\textrm{s}} = 2\,\textrm{m/s}^2 \, , \]

dalla quale ricaviamo poi facilmente

    \[ F = ma = 85\,\textrm{kg} \cdot 2\,\textrm{m/s}^2 = 170\,\textrm{N} \, . \]

Come sempre, tuttavia, visto che il valore dell’accelerazione non è richiesto, il mio consiglio è quello di sostituire i valori numerici solo all’ultimo passagio, procedendo il più possibile per via lettarale:

    \[ F=ma=m\frac{\Delta v}{\Delta t} = 85\,\textrm{kg} \cdot \frac{(7-0)\,\textrm{m/s}}{3.5\,\textrm{s}} = 170\,\textrm{N} \, . \]

Abbiamo ancora due esercizi da risolvere per oggi: fino a qui, hai trovato utile il materiale? Il livello di difficoltà è adatto per le tue esigenze? Fammi sapere se desideri esercizi più complessi (e su quali argomenti) e cercherò di pubblicarne appena possibile alcuni più adatti a te!

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lavoro ed energia #3

esercizio 3: il portiere blocca il pallone
Un portiere di calcio deve bloccare un pallone che gli arriva contro in direzione orizzontale con velocità 80\,\textrm{km/h}. La massa di un pallone da calcio è di circa 430\,\textrm{g}.
  1. Quanto lavoro è necessario per fermare completamente il pallone?
  2. Perché ai portieri di calcio viene insegnato a tenere le braccia morbide (“accompagnare il pallone”) durante una parata, per bloccare il pallone?

soluzione

  • v_I=80\,\textrm{km/h}=(80/3.6)\,\textrm{m/s} \simeq 22\,\textrm{m/s};
  • v_F=0\,\textrm{m/s};
  • m=430\,\textrm{g}=0.430\,\textrm{kg}.
  • L;
  • Perché è bene tenere le braccia morbide per bloccare il pallone?

Calcolo del lavoro

Il lavoro necessario è pari alla differenza di energia cinetica tra la “configurazione” iniziale (il pallone è in moto: ha velocità v_I=22\,\textrm{m/s}) e quella finale (il pallone è fermo: ha v_F=0\,\textrm{m/s}).

    \[ L = \Delta E_C = \frac{1}{2}mv^2_F-\frac{1}{2}mv^2_I = \frac{1}{2}\cdot 0.43\,\textrm{kg} \cdot \left( (0\,\textrm{m/s})^2-(22\,\textrm{m/s})^2 \right) \simeq -104 \,\textrm{J} \, . \]

braccia morbide o tese?

Ai portieri (di calcio) viene insegnato a tenere le braccia morbide per “accompagnare” il pallone perché il pallone possa cedere la propria energia cinetica sotto forma di lavoro: questo lavoro viene svolto sulle braccia, facendole “spostare” verso il corpo del portiere. Se il portiere opponesse il proprio corpo in modo rigido, la palla potrebbe rimbalzare, come avviene quando questa finisce su un muro. Poiché il muro non si può spostare, il pallone non può svolgere lavoro sul muro e non può quindi cedere la propria energia cinetica. In questo caso, la palla continuerebbe a muoversi, allontanandosi dal portiere…con il rischio di diventare facile preda per un attaccante avversario.

Notare che quando il pallone e le braccia vengono a contatto, ciascun corpo esercita sull’altro una forza. Per il Terzo Principio della Dinamica, queste forze sono uguale e contrarie (stessa direzione e verso opposto), e agiscono simultaneamente. Il pallone esercita sulle braccia una forza diretta verso il corpo del portiere; le braccia, una forza sul pallone diretta in verso opposto alla velocità di quest’ultimo. In questo caso, il pallone subisce una accelerazione negativa, con conseguente diminuzione della propria velocità, fino all’arresto completo. Per questo motivo il lavoro che abbiamo calcolato risulta negativo.

lavoro ed energia #4

esercizio 4: spostare un manubrio
In sala pesi devi spostare un manubrio da 8\,\textrm{kg}, prima di 20\,\textrm{cm} in verticale per sollevarlo dalla rastrelliera, poi di 2.3\,\textrm{m} in orizzontale per portarlo alla tua postazione di allenamento.
  1. Quanto lavoro compie la forza peso nel tratto verticale?
  2. Quanto lavoro compie la forza peso nel tratto orizzontale?

soluzione

  • m=8\,\textrm{kg};
  • \Delta h=20\,\textrm{cm}=0.2\,\textrm{m};
  • \Delta s=2.3\,\textrm{m}.
  • L^v_P;
  • L^o_P.

Durante il tratto verticale, lo spostamento avviene nel verso opposto a quello della forza peso: questa è diretta verso il basso, lo spostamento verso l’alto. Pertanto il lavoro compiuto dalla forza peso è negativo:

    \[ L^v_P = \vec{F}_P \cdot \Delta \vec{h} = -mg \cdot \Delta h = - 8\,\textrm{kg} \cdot 10\,\textrm{N/kg} \cdot 0.2\,\textrm{m} = -16\,\textrm{J} \, . \]

Ovviamente il lavoro che compi tu per spostare il manubrio, andando contro la forza peso, è uguale in valore, ma di segno opposto al lavoro della forza peso. Ricorda che, pur non conoscendo il dettaglio della forza (e conseguente accelerazione e decelerazione) che impartisci all’attrezzo per sollevarlo di una certa altezza, puoi sempre calcolare il lavoro corrispondente come differenza di energia potenziale:

    \[ L = \Delta E_P = \Delta (mgh) = mg \Delta h = +16\,\textrm{J} \, . \]

Nel tratto orizzontale forza peso e spostamento sono perpendicolari, quindi il lavoro compiuto è zero: del resto, la forza peso agisce solo in direzione verticale, pertanto spostare il manubrio in orizzontale non fa variare la sua energia potenziale.

Quando forza e spostamento sono perpendicolari tra loro il lavoro compiuto è nullo.

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