Esercizi di Meccanica dei Fluidi per Medicina - Tubo ad U

02 Dic

Esercizi di Meccanica dei Fluidi per Medicina – Tubo ad U

densità, pressione, Stevino, tubo ad U, walker

Chimica, Biologia, Geologia, Scienze Naturali, Esercizi, Fisica, Fluidi, Ingegneria, Matematica e Informatica, Medicina, Farmacia, CTF

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Il problema

Questo esercizio mi è stato proposto da uno studente di Medicina e Chirurgia (Università di Roma “Sapienza”): fa parte degli esercizi suggeriti per la preparazione al primo esonero di Fisica Medica. Si tratta di una tipica applicazione in Meccanica dei Fluidi, adatta a tutti i corsi di studi.

Se trovate utile il modo con il quale vengono presentati e risolti gli esercizi su questa pagina…non esistate a segnalarmene altri: cercherò di pubblicarli il prima possibile!

Testo

Un tubo ad U contiene mercurio. Nel braccio destro viene versata acqua per 25 cm di altezza sopra il livello del mercurio. Di quanto risale il mercurio nel braccio sinistro? (La densità del mercurio è $13.6\,\textup{g/cm}^3$ ).

fase 1: impostazione

step 1: leggere il testo con attenzione

Il testo è – come spesso accade – molto stringato. Molte cose non sono dette esplicitamente, ma dall’assenza di informazioni addizionali possiamo assumere di poter trattare acqua e mercurio come fluidi ideali, in equilibrio. Non dobbiamo preoccuparci di “come” l’acqua venga versata nel tubo, ma semplicemente confrontare le due situazioni: tubo con solo mercurio e tubo con l’acqua aggiunta in un braccio. Infine, possiamo assumere che la sezione dei due bracci sia sempre la stessa (discuteremo alla fine cosa cambia se questa condizione non sussiste).

step 2: fare un disegno

La situazione fisica descritta può essere rappresentata in questo modo (nella scelta dei simboli/nomi delle variabili mi sono ispirato a “Fondamenti di Fisica” di Walker – Quinta edizione italiana, che presenta un esercizio molto simile a questo):

la prima cosa da notare è che ci viene chiesto di calcolare di quanto risale il mercurio nel braccio di sinistra (quello senz’acqua). La nostra incognita non è quindi $h_1$ , ma – come vedremo a breve – la sua metà.

step 3: scrivere dati e incognite

Dati

I dati forniti dal problema sono:

$h_2 = 25\,\textup{cm}$

$\rho_{Hg} = 13.6\,\textup{g/cm}^3$ ,

ai quali aggiungiamo

$\rho_{H_2O} = 1\,\textup{g/cm}^3$

Incognite

$\Delta h = ?$

step 4: fare un piano

Per capire cosa accade nel tubo dopo aver versato l’acqua è bene confrontare questa configurazione con quella nella quale è presente il solo mercurio.

Quando l’acqua entra nel braccio, aggiunge con il proprio peso una pressione sulla superficie libera del mercurio. Di conseguenza, il mercurio scende un po’ in quel braccio e risale nell’altro. Poiché ovviamente la quantità di mercurio rimane sempre la stessa, il volume di mercurio che lascia posto all’acqua in un braccio finisce nell’altro: se il livello di mercurio scende di $1\,\textup{cm}$ a destra, risale di $1\,\textup{cm}$ a sinistra. Questo vuole anche dire che, nella nuova configurazione, la differenza di altezza tra le due colonne di mercurio sarà di $2\,\textup{cm}$ .

Raccogliamo le idee

Quando è presente solo mercurio, sulle superfici libere nei due bracci del tubo agisce solo la pressione atmosferica.
L’acqua aggiunta a destra aggiunge una pressione ulteriore sul mercurio, dovuta al peso della colonnina d’acqua.
La nuova configurazione di equilibrio si raggiunge quando la pressione esercitata sul mercurio al livello $AB$ della figura è la stessa nei due bracci: la colonnina di mercurio di altezza $h_1$ esercita la stessa pressione della colonnina d’acqua alta $h_2$ .
La pressione esercitata da una colonna di fluido è proporzionale all’altezza della colonna e alla densità del fluido: dai dati a disposizione possiamo ricavare $h_1$ .
La nostra incognita è $\Delta h$ , la quantità della quale il mercurio risale nel braccio di sinistra; essa è solo la metà di $h_1$ , in quanto dobbiamo tener conto anche del fatto che il livello del mercurio è sceso nella braccio destro (sempre di $\Delta h$ ).

fase 2: soluzione

step 5: scrivere le equazioni

Per risolvere il problema, dobbiamo uguagliare la pressione sulle due superfici al livello $AB$ nei due bracci del tubo. Sotto quel livello, infatti, la configurazione è identica a destra e a sinistra. Sopra, abbiamo da una parte acqua e dall’altra mercurio.

Indicando con $p_1$ e $p_2$ le pressioni a livello $AB$ nel braccio di sinistra e di destra rispettivamente, e con $p_{atm}$ la pressione atmosferica, si ha:

(1) $\begin{equation*} p_1 = p_{atm} + \rho_{Hg}\cdot g \cdot h_1 \, , \qquad p_2 = p_{atm} + \rho_{H_2O} \cdot g \cdot h_2 \, . \end{equation*}$

La pressione è una forza per unità di superficie. La pressione esercitata da una colonna di fluido è dovuta alla forza peso $mg$ , esercitata sulla superficie $S$ : se la sezione della colonna è costante, il volume occupato dal fluido è pari a $S\cdot h$ ; inoltre, la massa è legata alla densità del fluido da $m=\rho \cdot V$ .In definitiva, la pressione può essere scritta come:

(2) $\begin{equation*} p = \frac{F}{S} = \frac{mg}{S} = \frac{(\rho V)g}{S} = \frac{\rho g S h}{S} = \rho g h \, . \end{equation*}$

I fluidi nel tubo sono in equilibrio quando $p_1 = p_2$ ; dalla (1) ricaviamo quindi ( $p_{atm}$ è la stessa da ambo i lati)

(3) $\begin{equation*} \rho_{Hg}\cdot g \cdot h_1 = \rho_{H_2O} \cdot g \cdot h_2 \, . \end{equation*}$

step 6: risolvere per via letterale

Nell’ultima equazione, possiamo semplificare anche l’accelerazione di gravità $g$ , per ottenere la relazione che lega densità del fluido e altezza della corrispondente colonna (al di sopra del livello $AB$ ). Al fluido a densità maggiore spetta una colonna più bassa: poiché il mercurio è molto più denso dell’acqua, ci aspettiamo una altezza $h_1$ assai ridotta in confronto a quella dell’acqua. Risolvendo, troviamo:

(4) $\begin{equation*} h_1 = h_2 \, \bigg( \frac{\rho_{H_2O}}{\rho_{Hg}} \bigg) \, . \nonumber \end{equation*}$

La nostra incognita è l’altezza della quale risale il mercurio nel braccio di sinistra, pari – come già osservato – alla metà di questo valore; pertanto otteniamo:

Espressione per $\Delta h$

(5) $\begin{equation*} \Delta h = \frac{1}{2}\,h_1 = \frac{1}{2}\, h_2 \, \bigg( \frac{\rho_{H_2O}}{\rho_{Hg}} \bigg) \, . \end{equation*}$

step 7: sostituire i valori numerici

Avendo ricavato l’espressione letterale per l’incognita $\Delta h$ , possiamo sostituire i valori numerici:

(6) $\begin{equation*} \Delta h = \frac{1}{2}\, h_2 \, \bigg( \frac{\rho_{H_2O}}{\rho_{Hg}} \bigg) = \frac{1}{2}\,25\,\textup{cm}\,\bigg( \frac{1}{13.6}\,\frac{\textup{g/cm}^3}{\textup{g/cm}^3}\bigg) = 0.92\,\textup{cm} \, , \end{equation*}$

dove abbiamo avuto cura di riportare il valore numerico con due cifre significative (visto che il dato $h_2$ ci è stato fornito con questo numero di cifre significative).

Fantastico! Siamo riusciti a determinare il valore numerico dell’incognita del nostro problema.

Prima di passare alla verifica del risultato…ti sembra utile l’esercizio svolto con questo livello di dettaglio? Troppe informazioni? Troppo poche?! Se ti va, aiutami a raggiungere più persone condividendo l’articolo su Facebook, o lasciando un “Mi piace” alla pagina di Un po’ di Fisica.

Grazie per il tuo feedback…e fai sempre la verifica, mi raccomando!

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fase 3: verifica

step 8: controllare i risultati numerici

Dal nostro risultato, segue che – a fronte di una colonnina d’acqua di $25\,\textup{cm}$ aggiunta nel braccio destro del tubo – il mercurio risale nell’altro braccio per meno di un centimetro: è sensato? Sì, perché la densità del mercurio è più di 13 volte quella dell’acqua!

step 9: svolgere l’analisi dimensionale

Per quanto riguarda il risultato (5) possiamo fare pochi commenti: l’incognita è un’altezza, ottenuta moltiplicando un’altezza ( $h_2$ ) per un rapporto tra densità.

Più interessante, anche se a un livello superiore di approfondimento, è notare (e ricordare!) che la quantità $\rho g h$ ha le dimensioni di una pressione (a me ha dato una grande mano per la prova scritta di ammissione al Dottorato!):

(7) $\begin{equation*} \big[ \rho g h \big] = \bigg[ \bigg( \frac{M}{V} \bigg) \, \big(LT^{-2}\big) \, L \bigg] = \big[ ML^{-3}\,LT^{-2}\,L \big] = \big[ M\,L^{-1}\,T^{-2}\big] =\big[ \frac{MLT^{-2}}{L^2}\big] =\bigg[ \frac{F}{S}\bigg] = [ \, p \, ] \, . \end{equation*}$

step 10: esaminare i casi limite

Se il liquido che aggiungiamo è lo stesso già presente nel tubo, ci aspettiamo che la quantità aggiuntiva si distribuisca in modo uniforme nei due bracci. In particolare, in quel caso sarebbe $h_1=h_2$ , consistentemente con quanto ricavato nella (3). Notiamo che lo stesso accade se il fluido è diverso, ma ha la stessa densità di quello presente nel tubo (a conferma della natura “meccanica” dell’equilibrio dei fluidi nel tubo).

considerazioni conclusive

Che cosa abbiamo imparato

L’equilibro nei fluidi si ottiene quando la pressione esercitata su qualsiasi superficie del fluido è la stessa. In particolare, qui è stato utile considerare la pressione al livello $AB$ nei due bracci.
All’equilibrio, l’altezza delle due colonne di fluido sopra il livello $AB$ è inversamente proporzionale alla densità del fluido: al materiale più denso (come il mercurio nei confronti dell’acqua) corrisponde una altezza minore.

approfondimenti

Cosa accade quando le sezioni dei due bracci del tubo sono diverse? La chiave per affrontare i problemi di meccanica dei fluidi ideali è sempre la stessa: la variabile rilevante per l’equilibrio è la pressione. Essendo la pressione il rapporto tra la forza esercitata in direzione normale a una superficie e l’estensione della superficie stessa, essa risulta indipendente dalla superficie! Su questa caratteristica si basa il funzionamento di dispositivi quali il torchio idraulico, tramite il quale è possibile sollevare una massa “grande” esercitando una “piccola” pressione sulla superficie di un fluido.

Nel caso del tubo ad U, se le sezioni dei bracci fossero diverse, per ogni colonna il peso e quindi la forza esercitata sarebbero diversi, ma anche i volumi dei due fluidi sarebbero distribuiti sulle corrispondenti superfici: di conseguenza, l’altezza della colonna di fluido non dipenderebbe dalla sezione del braccio, ma – proprio come nel nostro caso – solo dalla densità del fluido.

per mettersi alla prova

Verifica questa affermazione!

Soluzione

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Espressione per $\Delta h$

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