Dinamica del punto | Esericizi di Fisica svolti | Carrucola

22 Nov

(16 Voto medio: 4,44 su 5)

Il problema

La carrucola ideale è uno dei temi ricorrenti negli esercizi di Meccanica. Questo esempio è una delle versioni più semplici ed è preso dal mio libro di testo del liceo, il Caforio-Ferilli. Oltre che dagli studenti di liceo, può essere usato dagli studenti universitari di Architettura e delle discipline biomediche; per gli studenti delle discipline scientifiche può essere usato come “riscaldamento”.

Testo

Due corpi, di masse $m_1 = 2.0\,\textup{kg}$ e $m_2 = 4.0\,\textup{kg}$ , sono collegati sopra una carrucola, priva di massa e libera di ruotare senza attriti attorno al proprio centro, con una corda inestensibile e di massa trascurabile. Calcolare l’accelerazione del sistema, la tensione della corda e lo spazio percorso da ciascun corpo (partendo dalla quiete) dopo i primi $\Delta t = 2.0\,\textup{s}$ .

fase 1: impostazione

step 1: leggere il testo con attenzione

La (ri)lettura del testo ci fornisce queste indicazioni: i due corpi pendono ai due capi di una corda ideale, che scorre sopra una carrucola ideale. Questo vuol dire che non ci sono attriti o perdite di energia, e che la distanza tra i due corpi lungo la corda non può mai cambiare: se uno scende, l’altro sale, della stessa quantità e con le stesse velocità e accelerazione. Inoltre, il sistema parte da fermo.

Cosa ci aspettiamo che accada? Il moto è molto semplice: i due corpi si muovono come un sistema unico, sotto l’azione della forza di gravità; il sistema accelera dal lato del corpo più pesante. La corda fa in modo che i corpi si possano influenzare tra loro, attraverso la tensione che generano nella corda stessa; il ruolo della carrucola è solo quello di far cambiare direzione a queste forze, in modo che tutti e due i corpi possano essere sospesi verticalmente, ai lati opposti.

step 2: fare un disegno

Il disegno fornito con il testo è chiaro e già contiene tutte le indicazioni. L’accelerazione di gravità è rivolta verso il basso, ovviamente.

step 3: scrivere dati e incognite

Dati

I dati sono forniti tutti in unità del S.I. e non dobbiamo fare alcuna trasformazione:

$m_1 = 2.0\,\textup{kg}$

$m_2 = 4.0\,\textup{kg}$

$\Delta t = 2.0\,\textup{s}$

$g=9.81\,\textup{m/s}^2$

Incognite

$a = ?$

$T = ?$

$\Delta s =?$

Abbiamo come sempre incluso anche il valore dell’accelerazione di gravità $g$ tra i dati.

step 4: fare un piano

Per calcolare accelerazione e tensione dobbiamo scrivere le equazioni della dinamica (la seconda legge di Newton, $F=ma$ ) per i corpi coinvolti, lungo la direzione del moto, la quale coincide con quella della corda.

Intuitivamente, una massa “tira” (a causa della gravità) perché la carrucola ruoti in un verso, mentre l’altra massa vorrebbe far ruotare il sistema nel verso opporto. Poiché la gravità è diretta in entrambi i casi verso il basso, ai capi collegati alle masse la corda è sottoposta a una tensione $T$ diretta, in entrambi i casi, verso l’alto. Questo vuol dire che, lungo la corda, le tensioni hanno versi opposti: questo è quello che deve accadere per ogni tratto di una corda ideale (se la forza netta fosse diversa da zero, la corda di allungherebbe o accorcerebbe). Renderemo più precisa questa intuizione disegnando i diagrammi di corpo libero per $m_1$ e $m_2$ .

Raccogliamo le idee

Le due masse si muovono come un unico sistema: se $m_2$ scende verso il basso alla velocità di $1\,\textup{m/s}$ , $m_1$ salirà verso l’alto con la medesima velocità. Lo stesso vale per l’accelerazione.
Possiamo disegnare il diagramma di corpo libero e scrivere la seconda legge di Newton per i due corpi, imponendo che abbiano la stessa accelerazione. Da queste equazioni potremo ricavare sia $a$ sia $T$ .
In seguito, potremo scrivere l’equazione del moto per i due corpi e calcolare lo spostamento $\Delta s$ richiesto.

fase 2: soluzione

step 5: scrivere le equazioni

Scegliamo per prima cosa un verso positivo per il movimento del sistema. L’intuito suggerisce che la massa maggiore scenda e quella minore salga. Nel nostro caso, scegliamo come positivo il verso nel quale $m_1$ sale, la carrucola gira in senso orario e $m_2$ scende. Qualsiasi forza in questo verso sarà scritta come positiva, mentre ogni forza che tenda a fare ruotare il sistema in verso opposto dovrà apparire con un segno negativo.

diagrammi di corpo libero

Su $m_1$ agiscono la forza peso $m_1g$ e la tensione della fune $T$ : la prima ha segno negativo con la nostra scelta del verso, la seconda è invece positiva.

Per quanto riguarda $m_2$ , agiscono ancora la forza peso e la tensione, con segni opposti rispetto al caso di $m_1$ (ricordate che stiamo seguendo la direzione della corda nel verso che per $m_1$ sale e per $m_2$ scende, dopo aver girato attorno alla carrucola).

La seconda legge di Newton si traduce nelle equazioni:

(1) $\begin{align*} T - m_1 g & = m_1a \, , \nonumber \\ m_2 g - T & = m_2a \, . \nonumber \end{align*}$

step 6: risolvere per via letterale

Le equazioni (1) ci portano a un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite $a$ e $T$ . Possiamo eliminare $T$ sommando le due equazioni, ottenendo così una equazioni per $a$ contenente solo quantità note:

$\begin{alignat*}{3} T & - m_1 \, g \, & = \, & m_1 \, a \nonumer \\ m_2 \, g & - T \, & = \, & m_2 \, a \\[-2ex] \cline{1-4} \nonumber \\ m_2 \, g & - m_1 \, g \, & = \, & (m_1+m_2)\, a \nonumber \end{alignat*}$

dalla quale ricaviamo

Espressione per $a$

(2) $\begin{equation*} a = \frac{m_2-m_1}{m_2 + m_1}\, g \, . \end{equation*}$

Secondo quanto ricavato, l’accelerazione $a$ si annulla quando $m_1 = m_2$ . Questo è un risultato che sicuramente ci aspettavamo: se appendiamo agli estremi della carrucola due masse uguali, il sistema è in equilibrio!

Ovviamente prima di “cantare vittoria” e di sostituire i valori numerici nell’espressione ricavata, dovremmo controllare che il risultato abbia le corrette dimensioni fisiche. Qui per fortuna la verifica è immediata: riuscite a farla a vista? La faremo in ogni caso assieme più sotto, nello step 9.

Passiamo al calcolo del valore numerico di $a$ :

(3) $\begin{equation*} a = \frac{m_2-m_1}{m_1 + m_2}\, g = \frac{\big( 4.0 - 2.0 \big)\,\textup{kg}}{\big( 4.0 + 2.0 \big)\,\textup{kg}}\, 9.81\,\textup{m/s}^2 = 3.3\,\textup{m/s}^2 \, , \end{equation*}$

dove come sempre abbiamo utilizzato lo stesso numero di cifre significative dei dati (due!) per il risultato.

In casi come questo, è anche possibile fornire il risultato nella forma $a = g/3$ , che si ottiene sostituendo i valori delle masse, senza esplicitare il valore della accelerazione di gravità.

Notiamo che, se fosse $m_1>m_2$ , otterremmo un valore negativo per l’accelerazione: questo vorrebbe semplicemente dire che il verso di $a$ è opposto a quello scelto come positivo. Il sistema scenderebbe in ogni caso dal lato della massa maggiore.

Possiamo ricavare il valore della tensione ripetendo gli step 6 e 7, utilizzando una delle due equazioni (1). In questo caso specifico, non c’è motivo di preferirne una all’altra. Scegliendo ad esempio la prima, otteniamo:

Prima ancora che leggiate la sequenza di passaggi che utilizzerò per ottenere l’espressione per $T$ , vi tranquillizzo: per la maggior parte di voi, sarà più che accettabile ricavare semplicemente dalla prima delle (1) la relazione $T=m_1\,(a+g)$ e sostituire i valori numerici a disposizione!

(4) $\begin{equation*} T = m_1 a + m_1 g = m_1 \bigg( \frac{m_2-m_1}{m_2 + m_1}\,g + g \bigg) = m_1 g \bigg( \frac{m_2-m_1}{m_2 + m_1} + 1\bigg) = m_1\, g \, \frac{m_2+m_1+m_2-m_1}{m_2 + m_1} \, , \end{equation*}$

e infine

Espressione per $T$

(5) $\begin{equation*} T = \frac{2\,m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,g \, . \end{equation*}$

Il corrispondente valore numerico è:

(6) $\begin{equation*} T = \frac{2\,m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,g = \frac{2\cdot 2\,\textup{kg}\cdot4\,\textup{kg}}{\big( 4.0 + 2.0 \big)\,\textup{kg}}\, 9.81\,\textup{m/s}^2 = 26\,\textup{N} \, , \end{equation*}$

avendo ancora approssimativo a due cifre significative il risultato $26.16$ e tenuto conto che $1\,\textup{kg}\,\textup{m/s}^2 = 1\,\textup{N}$ .

Infine, per calcolare lo spostamento subito dai corpi, dobbiamo scrivere le equazioni del moto. Il sistema si muove di moto uniformemente accelerato, con accelerazione $a$ ricavata in precedenza e velocità iniziale nulla (come indicato nel testo):

(7) $\begin{equation*} \Delta s = \frac{1}{2}\, a \, (\Delta t)^2 \, , \end{equation*}$

dalla quale otteniamo il valore numerico

(8) $\begin{equation*} \Delta s = \frac{1}{2}\, 3.27\,\textup{m/s}^2 \cdot 4\,\textup{s}^2 = 6.5\,\textup{m} \, . \end{equation*}$

Notate che per eseguire il calcolo ho usato una cifra decimale in più nel valore di $a$ , rispetto a quanto riportato in precedenza: è sempre buona norma farlo nei calcoli intermedi, approssimando solo il risultato finale al corretto numero di cifre significative.

Lo spostamento calcolato è di $6.5\,\textup{m}$ verso il basso per $m_2$ e della stessa quantità $\Delta s$ verso l’altro per $m_1$ : la lunghezza del tratto di corda che separa i due corpi rimane inalterata.

Ora che siamo giunti ai risultati, e prima della importante fase della verifica, ti va di farmi sapere se hai trovato utile l’esercizio? Mi aiuterà a fare meglio in futuro! Se ti sta piacendo quello che leggi, perché non mi aiuti a raggiungere più persone, condividendo l’articolo su Facebook o lasciando il tuo “like” alla pagina?

Grazie mille in ogni caso…ti lascio alla verifica!

(16 Voto medio: 4,44 su 5)

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fase 3: verifica

step 8: controllare i risultati numerici

Il sistema si muove sotto l’azione della forza peso complessiva $\big(m_1+m_2\big)\,g \sim 60\,\textup{N}$ , in assenza di attriti. Pertanto, i valori trovati per $a\sim 3\,\textup{m/s}^2$ e $T\sim 25\,\textup{N}$ sono del tutto ragionevoli; lo stesso vale per $\Delta s \sim 6.5\,\textup{m}$ . Il segno di $a$ è quello che ci aspettavamo in base all’intuizione: il sistema scende dalla parte del corpo più pesante.

step 9: svolgere l’analisi dimensionale

Questo controllo andrebbe fatto sempre, e non solo in fase di verifica. La cosa migliore sarebbe eseguire un rapido check dimensionale ad ogni passaggio! Può sembrare una perdita di tempo, ma vi assicuro che questo è il controllo più importante che possiate fare mentre svolgete i vostri esercizi. Nel nostro caso, abbiamo:

(9) $\begin{equation*} [a] = \bigg[ \frac{M}{M}\,g \bigg] = [g] = [L\,T^{-2}] = \textup{m/s}^2 \, , \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} [\textup{Tensione}] =\bigg[ \frac{M^2}{M}\,g \bigg] = [M\,L\,T^{-2}] = [F] = \textup{N} \, . \end{equation*}$

Per $\Delta s$ abbiamo usato l’espressione dello spazio percorso nel moto uniformemente accelerato, e possiamo essere sicuri che abbia le dimensioni giuste!

L’analisi dimensionale ci dà una ulteriore conferma per quanto riguarda i nostri risultati per $a$ e $T$ . Eccellente!

step 10: esaminare i casi limite

Possiamo eseguire questo controllo molto rapidamente per l’accelerazione, operazione che in genere fornisce risultati “semplici” da interpretare. Notiamo dall’espressione (2) che, quando $m_2 \gg m_1$ , il valore di $a$ tende a $+g$ (sistema in caduta libera, soggetto alla forza peso $m_2g$ ); se al contrario è $m_1 \gg m_2$ , si ottiene $a=-g$ , ovvero il sistema è ancora in caduta libera, ma dall’altro lato; infine, abbiamo già osservato che per $m_1=m_2$ il sistema è in equilibrio e giustamente troviamo $a=0$ . In questo caso troviamo anche, secondo la (7), $T=m_1g=m_2g$ : da ogni lato, la corda deve bilanciare la forza peso dei due corpi in equilibrio.

considerazioni conclusive

Che cosa abbiamo imparato

Una corda ideale si comporta come una sbarretta rigida; la carrucola ideale serve a far cambiare la direzione delle forze trasmesse attraverso la corda.
Per risolvere un problema di dinamica in presenza di una carrucola ideale è sufficiente scrivere la seconda legge di Newton lungo la direzione della corda, imponendo una accelerazione comune ai corpi collegati.
Nell’espressione per l’accelerazione le tensioni ai capi della corda si cancellano tra loro.

(16 Voto medio: 4,44 su 5)

Gianni Olivieri

28 Nov 2015

Buongiorno, innanzitutto vorrei farle i complimenti per questo lavoro che sta compiendo! Lo trovo molto utile e meritevole, utile per i giovani che frequentano le scuole, e meritevole di lodi per lei.Avendo io la quasi veneranda eta’ di 60 ani si chiedera’ cosa faccio in mezzo a questa platea di giovani, beh detto fatto, mi sono diplomato nel lontano 1977 all’ ITI Montani di Fermo specializzazione meccanica. Le circostanzedella vita hanno fatto si che io abbia intrapreso un lavoro che nulla aveva a che fare con il mio diploma, ma la passione per la fisica che a dire il vero quando frequentavo era molto bassa ( idiozie givanili) e’ andata sempre crescendo e a questo punto della mia vita dove sto cominciando a riprendermi il mio tempo, ho deciso di ricominciare senza nessuno scopo se non la conoscenza di tutto cio’ che ci circonda dedicando il mio tempo libero allo studio …grazie e scusi per il tempo che le ho rubato con questa mia mail

Marco Valli

28 Nov 2015

Grazie mille! Mi fa piacere che abbia deciso di passare parte di quel tempo con #unpodiFisica! A presto!

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