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Il problema
La carrucola ideale è uno dei temi ricorrenti negli esercizi di Meccanica. Questo esempio è una delle versioni più semplici ed è preso dal mio libro di testo del liceo, il Caforio-Ferilli. Oltre che dagli studenti di liceo, può essere usato dagli studenti universitari di Architettura e delle discipline biomediche; per gli studenti delle discipline scientifiche può essere usato come “riscaldamento”.Testo
e 
, sono collegati sopra una carrucola, priva di massa e libera di ruotare senza attriti attorno al proprio centro, con una corda inestensibile e di massa trascurabile. Calcolare l’accelerazione del sistema, la tensione della corda e lo spazio percorso da ciascun corpo (partendo dalla quiete) dopo i primi 
.
fase 1: impostazione
step 1: leggere il testo con attenzione
La (ri)lettura del testo ci fornisce queste indicazioni: i due corpi pendono ai due capi di una corda ideale, che scorre sopra una carrucola ideale. Questo vuol dire che non ci sono attriti o perdite di energia, e che la distanza tra i due corpi lungo la corda non può mai cambiare: se uno scende, l’altro sale, della stessa quantità e con le stesse velocità e accelerazione. Inoltre, il sistema parte da fermo.Cosa ci aspettiamo che accada? Il moto è molto semplice: i due corpi si muovono come un sistema unico, sotto l’azione della forza di gravità; il sistema accelera dal lato del corpo più pesante. La corda fa in modo che i corpi si possano influenzare tra loro, attraverso la tensione che generano nella corda stessa; il ruolo della carrucola è solo quello di far cambiare direzione a queste forze, in modo che tutti e due i corpi possano essere sospesi verticalmente, ai lati opposti.
step 2: fare un disegno
Il disegno fornito con il testo è chiaro e già contiene tutte le indicazioni. L’accelerazione di gravità è rivolta verso il basso, ovviamente.step 3: scrivere dati e incognite
Abbiamo come sempre incluso anche il valore dell’accelerazione di gravità 
tra i dati.
step 4: fare un piano
Per calcolare accelerazione e tensione dobbiamo scrivere le equazioni della dinamica (la seconda legge di Newton,
) per i corpi coinvolti, lungo la direzione del moto, la quale coincide con quella della corda.
Intuitivamente, una massa “tira” (a causa della gravità) perché la carrucola ruoti in un verso, mentre l’altra massa vorrebbe far ruotare il sistema nel verso opporto. Poiché la gravità è diretta in entrambi i casi verso il basso, ai capi collegati alle masse la corda è sottoposta a una tensione 
diretta, in entrambi i casi, verso l’alto. Questo vuol dire che, lungo la corda, le tensioni hanno versi opposti: questo è quello che deve accadere per ogni tratto di una corda ideale (se la forza netta fosse diversa da zero, la corda di allungherebbe o accorcerebbe). Renderemo più precisa questa intuizione disegnando i diagrammi di corpo libero per 
e 
.
Raccogliamo le idee
- Le due masse si muovono come un unico sistema: se scende verso il basso alla velocità di
, salirà verso l’alto con la medesima velocità. Lo stesso vale per l’accelerazione. - Possiamo disegnare il diagramma di corpo libero e scrivere la seconda legge di Newton per i due corpi, imponendo che abbiano la stessa accelerazione. Da queste equazioni potremo ricavare sia
sia . - In seguito, potremo scrivere l’equazione del moto per i due corpi e calcolare lo spostamento
richiesto.
fase 2: soluzione
step 5: scrivere le equazioni
Scegliamo per prima cosa un verso positivo per il movimento del sistema. L’intuito suggerisce che la massa maggiore scenda e quella minore salga. Nel nostro caso, scegliamo come positivo il verso nel quale sale, la carrucola gira in senso orario e scende. Qualsiasi forza in questo verso sarà scritta come positiva, mentre ogni forza che tenda a fare ruotare il sistema in verso opposto dovrà apparire con un segno negativo.
diagrammi di corpo libero
Su agiscono la forza peso 
e la tensione della fune : la prima ha segno negativo con la nostra scelta del verso, la seconda è invece positiva.
Per quanto riguarda , agiscono ancora la forza peso e la tensione, con segni opposti rispetto al caso di (ricordate che stiamo seguendo la direzione della corda nel verso che per sale e per scende, dopo aver girato attorno alla carrucola).
La seconda legge di Newton si traduce nelle equazioni:
(1) 
step 6: risolvere per via letterale
Le equazioni (1) ci portano a un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite e . Possiamo eliminare sommando le due equazioni, ottenendo così una equazioni per contenente solo quantità note:
![\begin{alignat*}{3} T & - m_1 \, g \, & = \, & m_1 \, a \nonumer \\ m_2 \, g & - T \, & = \, & m_2 \, a \\[-2ex] \cline{1-4} \nonumber \\ m_2 \, g & - m_1 \, g \, & = \, & (m_1+m_2)\, a \nonumber \end{alignat*}](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bf566af9a4e4826e5f765d4ce29a0e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dalla quale ricaviamo
si annulla quando 
. Questo è un risultato che sicuramente ci aspettavamo: se appendiamo agli estremi della carrucola due masse uguali, il sistema è in equilibrio!Passiamo al calcolo del valore numerico di :
(3) 
dove come sempre abbiamo utilizzato lo stesso numero di cifre significative dei dati (due!) per il risultato.
, che si ottiene sostituendo i valori delle masse, senza esplicitare il valore della accelerazione di gravità.
, otterremmo un valore negativo per l’accelerazione: questo vorrebbe semplicemente dire che il verso di è opposto a quello scelto come positivo. Il sistema scenderebbe in ogni caso dal lato della massa maggiore.Possiamo ricavare il valore della tensione ripetendo gli step 6 e 7, utilizzando una delle due equazioni (1). In questo caso specifico, non c’è motivo di preferirne una all’altra. Scegliendo ad esempio la prima, otteniamo:
, vi tranquillizzo: per la maggior parte di voi, sarà più che accettabile ricavare semplicemente dalla prima delle (1) la relazione 
e sostituire i valori numerici a disposizione! (4) 
e infine
Il corrispondente valore numerico è:
(6) 
avendo ancora approssimativo a due cifre significative il risultato 
e tenuto conto che 
.
Infine, per calcolare lo spostamento subito dai corpi, dobbiamo scrivere le equazioni del moto. Il sistema si muove di moto uniformemente accelerato, con accelerazione ricavata in precedenza e velocità iniziale nulla (come indicato nel testo):
(7) 
dalla quale otteniamo il valore numerico
(8) 
, rispetto a quanto riportato in precedenza: è sempre buona norma farlo nei calcoli intermedi, approssimando solo il risultato finale al corretto numero di cifre significative.
verso il basso per e della stessa quantità verso l’altro per : la lunghezza del tratto di corda che separa i due corpi rimane inalterata.[ratings]
fase 3: verifica
step 8: controllare i risultati numerici
Il sistema si muove sotto l’azione della forza peso complessiva
, in assenza di attriti. Pertanto, i valori trovati per 
e 
sono del tutto ragionevoli; lo stesso vale per 
. Il segno di è quello che ci aspettavamo in base all’intuizione: il sistema scende dalla parte del corpo più pesante.
step 9: svolgere l’analisi dimensionale
Questo controllo andrebbe fatto sempre, e non solo in fase di verifica. La cosa migliore sarebbe eseguire un rapido check dimensionale ad ogni passaggio! Può sembrare una perdita di tempo, ma vi assicuro che questo è il controllo più importante che possiate fare mentre svolgete i vostri esercizi. Nel nostro caso, abbiamo: (9) ![\begin{equation*} [a] = \bigg[ \frac{M}{M}\,g \bigg] = [g] = [L\,T^{-2}] = \textup{m/s}^2 \, , \end{equation*}](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1399920ee1b4f0be9e7543e554fdea33_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e
(10) ![\begin{equation*} [\textup{Tensione}] =\bigg[ \frac{M^2}{M}\,g \bigg] = [M\,L\,T^{-2}] = [F] = \textup{N} \, . \end{equation*}](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1478bb33c8c600cdbd23297c0a68c98_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per abbiamo usato l’espressione dello spazio percorso nel moto uniformemente accelerato, e possiamo essere sicuri che abbia le dimensioni giuste!
e . Eccellente!step 10: esaminare i casi limite
Possiamo eseguire questo controllo molto rapidamente per l’accelerazione, operazione che in genere fornisce risultati “semplici” da interpretare. Notiamo dall’espressione (2) che, quando
, il valore di tende a 
(sistema in caduta libera, soggetto alla forza peso 
); se al contrario è 
, si ottiene 
, ovvero il sistema è ancora in caduta libera, ma dall’altro lato; infine, abbiamo già osservato che per 
il sistema è in equilibrio e giustamente troviamo 
. In questo caso troviamo anche, secondo la (7), 
: da ogni lato, la corda deve bilanciare la forza peso dei due corpi in equilibrio.
considerazioni conclusive
Che cosa abbiamo imparato
- Una corda ideale si comporta come una sbarretta rigida; la carrucola ideale serve a far cambiare la direzione delle forze trasmesse attraverso la corda.
- Per risolvere un problema di dinamica in presenza di una carrucola ideale è sufficiente scrivere la seconda legge di Newton lungo la direzione della corda, imponendo una accelerazione comune ai corpi collegati.
- Nell’espressione per l’accelerazione le tensioni ai capi della corda si cancellano tra loro.
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Buongiorno, innanzitutto vorrei farle i complimenti per questo lavoro che sta compiendo! Lo trovo molto utile e meritevole, utile per i giovani che frequentano le scuole, e meritevole di lodi per lei.Avendo io la quasi veneranda eta’ di 60 ani si chiedera’ cosa faccio in mezzo a questa platea di giovani, beh detto fatto, mi sono diplomato nel lontano 1977 all’ ITI Montani di Fermo specializzazione meccanica. Le circostanzedella vita hanno fatto si che io abbia intrapreso un lavoro che nulla aveva a che fare con il mio diploma, ma la passione per la fisica che a dire il vero quando frequentavo era molto bassa ( idiozie givanili) e’ andata sempre crescendo e a questo punto della mia vita dove sto cominciando a riprendermi il mio tempo, ho deciso di ricominciare senza nessuno scopo se non la conoscenza di tutto cio’ che ci circonda dedicando il mio tempo libero allo studio …grazie e scusi per il tempo che le ho rubato con questa mia mail
Grazie mille! Mi fa piacere che abbia deciso di passare parte di quel tempo con #unpodiFisica! A presto!