Dinamica del punto: corda ideale con attrito
Il problema
Questo è un classico esercizio di dinamica del punto materiale in presenza di attrito: costituisce una buona occasione per ripassare come si comporta una corda ideale. Può essere considerato di base per studenti di Matematica, Ingegneria e Fisica, e sicuramente è già a livello delle prove d’esame per le altre Facoltà di Scienze. Gli elementi del problema sono semplici, ma combinati assieme lo rendono forse troppo complesso per studenti dell’area biomedica e del Liceo.Il testo è ispirato a quello dell’esercizio 2.18 del Mazzoldi-Saggion-Voci.
Testo







fase 1: impostazione
step 1: leggere il testo con attenzione
È sempre bene partire dalla (ri)lettura del testo, alla ricerca di approssimazioni e assunzioni necessarie alla risoluzione dell’esercizio. Qui la situazione fisica descritta è chiara: tiriamo





step 2: fare un disegno
Per questo esercizio il disegno fornito con il testo contiene già tutte le informazioni utili. Per aiutarci a scrivere le equazioni, in fase di soluzione disegneremo i diagrammi di corpo libero per

step 3: scrivere dati e incognite




Abbiamo incluso anche il valore dell’accelerazione di gravità tra i dati: è comodo trascrivere subito questo tipo di informazioni assieme alle altre a disposizione.
step 4: fare un piano
Per calcolare accelerazione e tensione dobbiamo scrivere le equazioni della dinamica (la seconda legge di Newton,

Raccogliamo le idee
- Possiamo trattare i due corpi come punti materiali: infatti non ci vengono date informazioni sulla loro estensione e non sono previste rotazioni o deformazioni.
- Inoltre, poiché la fune rimane sempre tesa, i due corpi si muovono come un unico sistema, mantenendo quindi la stessa distanza (pari alla lunghezza della fune): se
si sposta di
verso destra, lo stesso farà
; allo stesso modo, velocità e accelerazione devono essere uguali per le due masse.
- Il moto è rettilineo: le due masse si muovono parallelamente al tavolo, nella direzione di
, con
che segue
.
- Lungo la direzione verticale, la reazione vincolare fornita dal piano equilibra la forza peso (come già osservato, il moto avviene solo in direzione orizzontale).
- La presenza di un coefficiente di attrito non trascurabile tra
e il piano si manifesta in una forza resistente orizzontale, di verso opposto a quello del moto. L’intensità di questa forza è proporzionale alla reazione offerta dal piano (quindi non possiamo “dimenticarci” del tutto di quello che avviene lungo l’asse verticale!).
fase 2: soluzione
step 5: scrivere le equazioni
Per scrivere la legge di Newton per i due corpi può essere utile disegnare i corrispondenti diagrammi di corpo libero. Da queste equazioni potremo ricavare sia


diagrammi di corpo libero
Sul corpo , nella direzione del moto (orizzontale,
) agiscono la tensione
della fune e la forza di attrito
.
tira verso destra, mentre
si oppone al moto. Il valore di
è proporzionale a
e all’intensità della reazione
esercitata dal piano su
:
(infatti lungo la direzione verticale
le forze si equilibrano, con
).
Sul corpo , in direzione
agiscono la forza
e la tensione
. Come già ricordato, l’intensità di
deve essere la stessa ai due estremi della corda ideale. Per quanto riguarda la direzione
, è come prima
.


Possiamo ora scrivere la seconda legge di Newton lungo l’asse delle figure precedenti (direzione parallela al piano e verso positivo quello di
).
(1)
step 6: risolvere per via letterale
Le equazioni (1) rappresentano un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite



dalla quale ricaviamo
step 7: sostituire i valori numerici
Sostituendo nell’espressione (2) i valori numeri dei dati, otteniamo: (3)
dove abbiamo utilizzato e abbiamo approssimato alla seconda cifra significativa (tutti i dati sono stati forniti con questa precisione) il risultato
.



Tuttavia, quando è in gioco la forza di attrito le cose non sono così semplici: se il moto avvenisse nel verso opposto, dovremmo invertire anche il verso assegnato alla forza di attrito nel diagramma di corpo libero e ripartire dalla scrittura della seconda legge di Newton! Nel nostro caso, questo avverrebe per valori di
.
Per ricavare la tensione dobbiamo ripartire dalle equazioni (1) e ripetere gli step 6 e 7 del procedimento. Possiamo scegliere una delle due a piacere, ricavare
e sostituire l’espressione di
appena trovata. In questo caso, la seconda equazione è leggermente più semplice, e ci fornisce
.


Utilizzando la (1), otteniamo:
dalla quale ricaviamo finalmente
Per ricavare il valore numerico di , sostituiamo (ora sì!) i valori numerici nel risultato (4). Otteniamo:
(5)
avendo ancora utilizzato e approssimato il valore
a due cifre significative.


Grazie per il tuo contributo…e ora passiamo alla verifica!
fase 3: verifica
step 8: controllare i risultati numerici
Prima di archiviare un esercizio come “risolto” dobbiamo sempre passare per la fase di verifica. Oltre ovviamente ai valori numerici ricavati (e scritti con il corretto numero di cifre significative), è importante riportare sempre le unità di misura delle grandezze (verificando che siano quelle corrette!). L’errore è sempre dietro l’angolo e sarebbe un peccato buttare via punti preziosi in un compito o in un esame per non investire qualche attimo in queste verifiche!Per capire se i valori numerici ottenuti siano sensati ci vuole un po’ di esperienza e quindi non è una verifica alla portata o tantomeno richiesta a tutti: la svolgeremo assieme negli approfondimenti.
step 9: svolgere l’analisi dimensionale
Anche questa verifica costituisce una richiesta superiore a quanto lecito aspettarsi da molti studenti, anche di facoltà scientifiche. Tuttavia, più che come un approfondimento, vi prego di considerarla come uno strumento a vostra disposizione. Con un po’ di esercizio e pazienza, diventerà anch’essa un controllo di routine, e vi impedirà di commettere errori gravi: è una verifica che raccomando di fare sempre!L’espressione (2) fornisce l’accelerazione del sistema dei due corpi. Ancora prima di sostituire i valori numerici, dovremmo verificare che il risultato ottenuto abbia le corrette dimensioni fisiche. Il risultato può essere corretto (ma non è detto in ogni caso che lo sia!) solo se il membro di destra ha le dimensioni di una accelerazione. L’accelerazione esprime come varia la velocità di un corpo, quindi si misura (ad esempio) in (la velocità varia di tot metri al secondo ogni secondo). Le dimensioni fisiche dell’accelerazione sono quindi
(6)
Verifichiamo che l’espressione al membro di destra della (2) abbia queste dimensioni:
(7)
Ottimo! Per ricavare le dimensioni di una forza, basta ricordare la seconda legge di Newton: ! Il coefficiente
, invece, è adimensionale.
Per quanto riguarda la nostra espressione finale (4) per la tensione , possiamo svolgere la stessa verifica:
(8)
La nostra espressione ha le dimensioni di una forza e si misura in : quello che ci aspettiamo per una tensione!
![Rendered by QuickLaTeX.com [T]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c363e3c290edfeab6799d21cee394e38_l3.png)


step 10: esaminare i casi limite
Anche questa è una verifica interessante, che può darci un indizio ancora più forte sulla correttezza dei nostri risultati. Chiaramente è un livello di approfondimento successivo, e anche in parecchi corsi universitari non è certo richiesto. Tuttavia si possono imparare parecchie cose e – soprattutto per gli studenti di Fisica – è un’altra abitudine da acquisire assolutamente!In questo caso, una verifica che chiaramente dovremmo fare consiste nel “mandare a zero” il coefficiente e constatare che il risultato sia consistente con il caso nel quale l’attrito è assente. Che aspetto avrebbero le nostre espressioni (2) e (4) quando
? Sono identiche a quelle che otterremo risolvendo il problema senza attrito?
Ponendo (o meglio effettuando il limite per
delle nostre espressioni), otteniamo:





Cosa accade, invece, se esaminiamo il caso ?





considerazioni conclusive
Che cosa abbiamo imparato
- Una corda ideale si comporta come una sbarretta rigida.
- Per risolvere un problema di dinamica in presenza di più corpi (che si muovono come un unico sistema) è sufficiente scrivere la seconda legge di Newton lungo la direzione del moto per tutti i corpi, imponendo una accelerazione comune.
- Nell’espressione finale per l’accelerazione le tensioni delle (varie) corde si cancellano tra loro (a coppie).
- In presenza di attrito, dobbiamo prestare attenzione alla direzione del moto e controllare che la soluzione trovata sia consistente con la scelta dei versi delle forze.
approfondimenti










Torniamo, infine, sulla possibilità di asserire la ragionevolezza dei valori numerici ottenuti per le due incognite. Nel nostro caso, ci sono in gioco due masse di e
; le forze peso (e quindi i corrispondenti valori delle reazioni del piano di appoggio) sono quindi dell’ordine
e di conseguenza
. Essendo la forza esterna
, i valori di accelerazione
e tensione
trovati sembrano del tutto ragionevoli.
per mettersi alla prova
Per verificare la tua comprensione di questo esercizio, ti lascio una piccola “variazione sul tema”. Buon divertimento!- La nostra soluzione è ancora valida se il valore di
è di
?
- Risolvi il problema se la forza
è applicata a
(verso sinistra nella nostra figura). Cambia l’espressione finale per
? E quella per la tensione? (scegli come verso positivo sempre quello di
)
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