Dinamica del punto | Esercizi di Fisica svolti | Attrito

22 Nov

Dinamica del punto: corda ideale con attrito

(8 Voto medio: 4,75 su 5)

Il problema

Questo è un classico esercizio di dinamica del punto materiale in presenza di attrito: costituisce una buona occasione per ripassare come si comporta una corda ideale. Può essere considerato di base per studenti di Matematica, Ingegneria e Fisica, e sicuramente è già a livello delle prove d’esame per le altre Facoltà di Scienze. Gli elementi del problema sono semplici, ma combinati assieme lo rendono forse troppo complesso per studenti dell’area biomedica e del Liceo.

Il testo è ispirato a quello dell’esercizio 2.18 del Mazzoldi-Saggion-Voci.

Testo

Due corpi $m_1$ e $m_2$ sono appoggiati su un piano orizzontale e legati tra loro da una corda inestensibile e di massa trascurabile. Al corpo $m_2$ viene applicata un forza $f$ , parallelamente al piano. Il coefficiente di attrito tra $m_1$ e il piano è $\mu$ , mentre quello tra $m_2$ e il piano è trascurabile. Calcolare l’accelerazione del sistema e la tensione della corda (durante il moto la corda rimane sempre tesa).

fase 1: impostazione

step 1: leggere il testo con attenzione

È sempre bene partire dalla (ri)lettura del testo, alla ricerca di approssimazioni e assunzioni necessarie alla risoluzione dell’esercizio. Qui la situazione fisica descritta è chiara: tiriamo $m_2$ attraverso la forza $f$ , mentre $m_1$ viene trascinato nel moto perché legato a $m_2$ dalla corda (o fune). La corda è ideale, ovvero non si allunga o accorcia mentre la utilizziamo e la sua massa è trascurabile. L’ultima informazione utile è che dobbiamo considerare l’attrito tra il piano e $m_1$ , ma non quello tra il piano e $m_2$ . La cosa più importante, anche se non viene detta esplicitamente nel testo, è che possiamo considerare i due corpi come punti materiali: se così non fosse, ci sarebbero state fornite altre informazioni sulle loro forme e dimensioni.

step 2: fare un disegno

Per questo esercizio il disegno fornito con il testo contiene già tutte le informazioni utili. Per aiutarci a scrivere le equazioni, in fase di soluzione disegneremo i diagrammi di corpo libero per $m_1$ e $m_2$ .

step 3: scrivere dati e incognite

Dati

I dati sono forniti tutti in unità del S.I. e non dobbiamo fare alcuna trasformazione:

$m_1=\SI{10}{\kilo\gram}$

$m_2=\SI{15}{\kilo\gram}$

$f=\SI{50}{\newton}$

$\mu=\num{0.10}$

$g=\SI{9.81}{\meter\per\second\squared}$

Il testo non specifica se $\mu$ rappresenti il coefficiente di attrito statico $\mu_s$ o dinamico $\mu_d$ : poiché dal testo è chiaro che il sistema è in moto, possiamo essere certi che quello fornito sia il $\mu_d$ .

Incognite

$a = ?$

$T = ?$

Abbiamo incluso anche il valore dell’accelerazione di gravità $g$ tra i dati: è comodo trascrivere subito questo tipo di informazioni assieme alle altre a disposizione.

step 4: fare un piano

Per calcolare accelerazione e tensione dobbiamo scrivere le equazioni della dinamica (la seconda legge di Newton, $F=ma$ ) per i corpi coinvolti. L’osservazione principale che dobbiamo fare è che, a causa della presenza della corda ideale, i due corpi si muovono come un unico sistema, in direzione parallela al piano. La presenza dell’attrito complica un po’ il problema, ma non altera questa situazione: aggiunge solo una ulteriore forza agente sul sistema dei due corpi. Poiché tutte le forze hanno intensità costante, ci aspettiamo che il moto sia uniformemente accelerato ( $a$ costante).

Raccogliamo le idee

Possiamo trattare i due corpi come punti materiali: infatti non ci vengono date informazioni sulla loro estensione e non sono previste rotazioni o deformazioni.
Inoltre, poiché la fune rimane sempre tesa, i due corpi si muovono come un unico sistema, mantenendo quindi la stessa distanza (pari alla lunghezza della fune): se $m_2$ si sposta di $1\,\textup{cm}$ verso destra, lo stesso farà $m_1$ ; allo stesso modo, velocità e accelerazione devono essere uguali per le due masse.
Il moto è rettilineo: le due masse si muovono parallelamente al tavolo, nella direzione di $f$ , con $m_1$ che segue $m_2$ .
Lungo la direzione verticale, la reazione vincolare fornita dal piano equilibra la forza peso (come già osservato, il moto avviene solo in direzione orizzontale).
La presenza di un coefficiente di attrito non trascurabile tra $m_1$ e il piano si manifesta in una forza resistente orizzontale, di verso opposto a quello del moto. L’intensità di questa forza è proporzionale alla reazione offerta dal piano (quindi non possiamo “dimenticarci” del tutto di quello che avviene lungo l’asse verticale!).

fase 2: soluzione

step 5: scrivere le equazioni

Per scrivere la legge di Newton per i due corpi può essere utile disegnare i corrispondenti diagrammi di corpo libero. Da queste equazioni potremo ricavare sia $a$ sia $T$ . Per quanto osservato, il valore di $a$ deve essere lo stesso nelle due equazioni; in realtà anche il valore della tensione è lo stesso.

La corda è inestensibile e di massa trascurabile (corda ideale). Questo implica che la tensione ai due capi debba essere di eguale intensità, ma direzione opposta. Se non fosse così, la fune subirebbe una forza netta non nulla e quindi una accelerazione o deformazione. Una corda ideale si comporta come una sbarra rigida.

diagrammi di corpo libero

Sul corpo $m_1$ , nella direzione del moto (orizzontale, $x$ ) agiscono la tensione $T$ della fune e la forza di attrito $f_a$ . $T$ tira verso destra, mentre $f_a$ si oppone al moto. Il valore di $f_a$ è proporzionale a $\mu$ e all’intensità della reazione $N$ esercitata dal piano su $m_1$ : $f_a = \mu N = \mu m_1 g$ (infatti lungo la direzione verticale $y$ le forze si equilibrano, con $N=m_1 g$ ).

Sul corpo $m_2$ , in direzione $x$ agiscono la forza $f$ e la tensione $T$ . Come già ricordato, l’intensità di $T$ deve essere la stessa ai due estremi della corda ideale. Per quanto riguarda la direzione $y$ , è come prima $N'=m_2 g$ .

Abbiamo disegnato le forze agenti sulle masse $m_1$ e $m_2$ senza preoccuparci di “dove” esse siano applicate. Stiamo trattando i due corpi come punti materiali: qualsiasi forza non può che essere applicata sul punto stesso! Descrivere le due masse come corpi estesi sarebbe necessario, ad esempio, se volessimo considerare eventuali rotazioni dei corpi.

Possiamo ora scrivere la seconda legge di Newton lungo l’asse $x$ delle figure precedenti (direzione parallela al piano e verso positivo quello di $f$ ).

(1) $\begin{align*} T - \mu m_1 g & = m_1a \, , \nonumber \\ f - T & = m_2a \, . \nonumber \end{align*}$

step 6: risolvere per via letterale

Le equazioni (1) rappresentano un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite $a$ e $T$ . Possiamo risolverlo notando che $T$ appare con segno opposto nelle due equazioni: è sufficiente sommarle per ottenere una equazione per $a$ contenente solo quantità note:

$\begin{alignat*}{3} T & -\mu m_1 g \, & = \, & m_1 a \nonumber \\ f & - T \, & = \, & m_2 a \\[-2ex] \cline{1-4} \nonumber \\ f & - \mu m_1 g \, & = \, & (m_1+m_2)\, a \nonumber \end{alignat*}$

dalla quale ricaviamo

Espressione per $a$

(2) $\begin{equation*} a = \frac{f-\mu m_1 g}{m_1 + m_2} \, . \end{equation*}$

step 7: sostituire i valori numerici

Sostituendo nell’espressione (2) i valori numeri dei dati, otteniamo:

(3) $\begin{equation*} a = \frac{f-\mu m_1 g}{m_1+m_2} = \frac{\SI{50}{\newton} - 0.10 \cdot \SI{10}{\kilo\gram} \cdot \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}}{(10+15)\si{\kilo\gram}} = \SI{1.6}{\meter\per\second\squared} \, , \end{equation*}$

dove abbiamo utilizzato $\SI{1}{\newton}=\SI{1}{\kilo\gram\meter\per\second\squared}$ e abbiamo approssimato alla seconda cifra significativa (tutti i dati sono stati forniti con questa precisione) il risultato $\num{1.6076}$ .

Ricordiamo che nel valore numerico $\mu = 0.10$ sono presenti due cifre significative: anche se lo zero a destra non altera il risultato numerico, la sua presenza ci dà informazioni sulla precisione con la quale conosciamo il valore di $\mu$ .

Attenzione! In generale, non è detto che accelerazioni e velocità abbiano sempre il verso che abbiamo scelto come “positivo”. Un valore negativo per $a$ ci direbbe che essa è nel verso opposto a quello ipotizzato.

Tuttavia, quando è in gioco la forza di attrito le cose non sono così semplici: se il moto avvenisse nel verso opposto, dovremmo invertire anche il verso assegnato alla forza di attrito $f_a$ nel diagramma di corpo libero e ripartire dalla scrittura della seconda legge di Newton! Nel nostro caso, questo avverrebe per valori di $f < \mu m_1 g$ .

Per ricavare la tensione $T$ dobbiamo ripartire dalle equazioni (1) e ripetere gli step 6 e 7 del procedimento. Possiamo scegliere una delle due a piacere, ricavare $T$ e sostituire l’espressione di $a$ appena trovata. In questo caso, la seconda equazione è leggermente più semplice, e ci fornisce $T = f - m_2 a$ .

Il mio consiglio è di procedere sempre per via letterale e utilizzare l’espressione (2) al posto di $a$ (e non il suo valore numerico), al fine di ricavare anche per $T$ una espressione in termini delle quantità note (vedi in proposito la guida “Come si risolve un esercizio di Fisica“). Tuttavia, non posso sostenere che sostituire a questo stadio i valori numerici sia un errore e sicuramente è una strada più sicura (e breve!) per quelli di voi che si sentono meno a loro agio con le manipolazioni algebriche.

Utilizzando la (1), otteniamo:

$\begin{alignat*}{2} T = & f - m_2 a = f - m_2 \big( \frac{f-\mu m_1 g}{m_1 + m_2} \big) = f \big( 1 - \frac{m_2}{m_1 + m_2} \big) + \frac{m_1\,m_2}{m_1 + m_2}\, \mu g = \nonumber \\ = & \frac{m_1}{m_1 + m_2}\,f + \frac{m_1}{m_1 + m_2}\,\mu m_2 g \, , \end{alignat*}$

dalla quale ricaviamo finalmente

Espressione per $T$

(4) $\begin{equation*} T = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\, \big( f + \mu m_2 g \big) \, . \end{equation*}$

Il mio “dovere pedagogico” qui è di consigliarvi come sempre di verificare (lo faremo assieme nello step 9) che l’espressione al membro di destra abbia effettivamente le dimensioni di una tensione (cioè di una forza). Lo farete, vero?!

Per ricavare il valore numerico di $T$ , sostituiamo (ora sì!) i valori numerici nel risultato (4). Otteniamo:

(5) $\begin{equation*} T = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\, \big( f + \mu m_2 g \big) = \frac{\SI{10}{\kilo\gram}}{(10+15)\si{\kilo\gram}}\, \big( \SI{50}{\newton} + 0.10\cdot \SI{10}{\kilo\gram} \cdot \SI{9.81}{\meter\per\second\squared} \big) = \SI{26}{\newton} \, , \end{equation*}$

avendo ancora utilizzato $\SI{1}{\newton} = \SI{1}{\kilo\gram\meter\per\second\squared}$ e approssimato il valore $\num{25.886}$ a due cifre significative.

Eccellente! Abbiamo determinato l’espressione e il valore numerico delle due incognite del problema, $a$ e $T$ . Complimenti!

Abbiamo determinato le incognite del problema: prima di passare alla fase di verifica, perché non mi fai sapere se trovi utile quanto stai leggendo? Mi aiuterà di certo a migliorare in futuro! Se stai trovando utile l’esercizio, potresti condividerlo e aiutarmi a raggiungere più persone!

Grazie per il tuo contributo…e ora passiamo alla verifica!

(8 Voto medio: 4,75 su 5)

fase 3: verifica

step 8: controllare i risultati numerici

Prima di archiviare un esercizio come “risolto” dobbiamo sempre passare per la fase di verifica. Oltre ovviamente ai valori numerici ricavati (e scritti con il corretto numero di cifre significative), è importante riportare sempre le unità di misura delle grandezze (verificando che siano quelle corrette!). L’errore è sempre dietro l’angolo e sarebbe un peccato buttare via punti preziosi in un compito o in un esame per non investire qualche attimo in queste verifiche!

Per capire se i valori numerici ottenuti siano sensati ci vuole un po’ di esperienza e quindi non è una verifica alla portata o tantomeno richiesta a tutti: la svolgeremo assieme negli approfondimenti.

step 9: svolgere l’analisi dimensionale

Anche questa verifica costituisce una richiesta superiore a quanto lecito aspettarsi da molti studenti, anche di facoltà scientifiche. Tuttavia, più che come un approfondimento, vi prego di considerarla come uno strumento a vostra disposizione. Con un po’ di esercizio e pazienza, diventerà anch’essa un controllo di routine, e vi impedirà di commettere errori gravi: è una verifica che raccomando di fare sempre!

L’espressione (2) fornisce l’accelerazione del sistema dei due corpi. Ancora prima di sostituire i valori numerici, dovremmo verificare che il risultato ottenuto abbia le corrette dimensioni fisiche. Il risultato può essere corretto (ma non è detto in ogni caso che lo sia!) solo se il membro di destra ha le dimensioni di una accelerazione. L’accelerazione esprime come varia la velocità di un corpo, quindi si misura (ad esempio) in $\textup{m/s}^2$ (la velocità varia di tot metri al secondo ogni secondo). Le dimensioni fisiche dell’accelerazione sono quindi

(6) $\begin{equation*} [a] = [L\,T^{-2}]\, . \end{equation*}$

Verifichiamo che l’espressione al membro di destra della (2) abbia queste dimensioni:

(7) $\begin{equation*} \bigg[ \frac{f-\mu m_1 g}{m_1 + m_2} \bigg] = \bigg[ \frac{(MLT^{-2}) - (MLT^{-2})}{M} \bigg] = [L\,T^{-2}] = [a] = \si{\meter\per\second\squared} \, . \end{equation*}$

Ottimo! Per ricavare le dimensioni di una forza, basta ricordare la seconda legge di Newton: $F=ma$ ! Il coefficiente $\mu$ , invece, è adimensionale.

Per quanto riguarda la nostra espressione finale (4) per la tensione $T$ , possiamo svolgere la stessa verifica:

(8) $\begin{equation*} \bigg[ \frac{m_1}{m_1 + m_2}\, \big( f + \mu m_2 g \big) \bigg] = \bigg[ \frac{M}{M} \, \big( MLT^{-2} + MLT^{-2} \big) \bigg] = [M\,L\,T^{-2}] = [\textup{Tensione}] = \si{\kilo\gram\meter\per\second\squared} = \si{\newton} \, . \end{equation*}$

La nostra espressione ha le dimensioni di una forza e si misura in $\textup{N}$ : quello che ci aspettiamo per una tensione!

Attenzione! Nelle espressioni precedenti il simbolo $[T]$ indica la grandezza fisica tempo e non la tensione!

L’analisi dimensionale ci conforta sulla correttezza delle nostre espressioni per $a$ e $T$ . Il nostro risultato ha qualche chance di essere giusto 😉

step 10: esaminare i casi limite

Anche questa è una verifica interessante, che può darci un indizio ancora più forte sulla correttezza dei nostri risultati. Chiaramente è un livello di approfondimento successivo, e anche in parecchi corsi universitari non è certo richiesto. Tuttavia si possono imparare parecchie cose e – soprattutto per gli studenti di Fisica – è un’altra abitudine da acquisire assolutamente!

In questo caso, una verifica che chiaramente dovremmo fare consiste nel “mandare a zero” il coefficiente $\mu$ e constatare che il risultato sia consistente con il caso nel quale l’attrito è assente. Che aspetto avrebbero le nostre espressioni (2) e (4) quando $\mu=0$ ? Sono identiche a quelle che otterremo risolvendo il problema senza attrito?

Ponendo $\mu=0$ (o meglio effettuando il limite per $\mu \rightarrow 0$ delle nostre espressioni), otteniamo:

$\begin{alignat*}{2} \label{eq:mu_zero} a & = \frac{f}{m_1+m_2} \, , \nonumber \\ T & = \frac{m_1\,f}{m_1+m_2} \equiv m_1a \, . \nonumber \end{alignat*}$

È quello che ci saremmo aspettati in assenza di attrito? Direi di sì: il sistema dei due corpi continua a muoversi come un unico corpo, con accelerazione pari alla forza totale applicata dall’esterno ( $f$ ), divisa per la massa totale ( $m_1+m_2$ ). La tensione è pari a $m_1a$ , in quanto sul corpo $m_1$ l’unica forza applicata lungo la direzione del moto – in assenza di attrito – è proprio $T$ .

Cosa accade, invece, se esaminiamo il caso $f \rightarrow 0$ ?

Attenzione! Ricordate che il nostro procedimento è corretto solo finché $f > \mu m_1 g,$ ! Se sostituissimo il valore $f=0$ nella espressione (2), ad esempio, otterremo una accelerazione negativa: il sistema si muoverebbe verso sinistra, pur non essendo applicata nessuna forza dall’esterno! Il valore più piccolo da considerare per $f$ , quindi, è proprio $\mu m_1 g$ , per il quale troviamo – correttamente – $a=0$ .

considerazioni conclusive

Che cosa abbiamo imparato

Una corda ideale si comporta come una sbarretta rigida.
Per risolvere un problema di dinamica in presenza di più corpi (che si muovono come un unico sistema) è sufficiente scrivere la seconda legge di Newton lungo la direzione del moto per tutti i corpi, imponendo una accelerazione comune.
Nell’espressione finale per l’accelerazione le tensioni delle (varie) corde si cancellano tra loro (a coppie).
In presenza di attrito, dobbiamo prestare attenzione alla direzione del moto e controllare che la soluzione trovata sia consistente con la scelta dei versi delle forze.

approfondimenti

Utilizzando la terminologia più appropriata a descrivere la dinamica dei sistemi, possiamo dire che la tensione $T$ scompare dall’equazione (2) per l’accelerazione perché rappresenta una forza interna al sistema dei due corpi. Il movimento di traslazione e rotazione dei sistemi di punti dipende solo dalle forze esterne (in particolare, dalla risultante delle forze esterne e dal momento totale delle forze esterne).

Il nostro problema richiede che sia $f > \mu m_1 g$ , altrimenti l’espressione trovata per l’accelerazione $a$ non è sensata. Cosa succede quando questa condizione non è soddisfatta? Per rispondere, dobbiamo ricordare che, sperimentalmente, è sempre $\mu_s > \mu_d$ , ovvero ci vuole una forza maggiore per mettere in moto un corpo, in presenza di attrito, che per mantenerlo in movimento. Abbiamo osservato che il nostro $\mu$ è sicuramente un coefficiente di attrito dinamico, $\mu_d$ . Non conosciamo il valore di $\mu_s$ , ma se il valore di $f$ fosse minore di $\mu_d m_1 g$ sarebbe sicuramente minore anche di $\mu_s m_1 g$ : il moto non avrebbe inizio!

Torniamo, infine, sulla possibilità di asserire la ragionevolezza dei valori numerici ottenuti per le due incognite. Nel nostro caso, ci sono in gioco due masse di $\num{10}$ e $\SI{15}{\kilo\gram}$ ; le forze peso (e quindi i corrispondenti valori delle reazioni del piano di appoggio) sono quindi dell’ordine $mg\sim\SI{150}{\newton}$ e di conseguenza $f_a=\mu mg \sim \SI{15}{\newton}$ . Essendo la forza esterna $f\sim \SI{50}{\newton}$ , i valori di accelerazione $a=\SI{1.6}{\meter\per\second\squared}$ e tensione $T=\SI{26}{\newton}$ trovati sembrano del tutto ragionevoli.

per mettersi alla prova

Per verificare la tua comprensione di questo esercizio, ti lascio una piccola “variazione sul tema”. Buon divertimento!

La nostra soluzione è ancora valida se il valore di $f$ è di $\SI{5}{\newton}$ ?
Risolvi il problema se la forza $f$ è applicata a $m_1$ (verso sinistra nella nostra figura). Cambia l’espressione finale per $a$ ? E quella per la tensione? (scegli come verso positivo sempre quello di $f$ )

Risposta alla prima domanda

Risposta alla seconda domanda

(8 Voto medio: 4,75 su 5)

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