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Per la rubrica degli “Esercizi rapidi“, rimaniamo sul tema lavoro e energia. Il livello è ancora quello del Liceo, delle Facoltà dell’area biomedica, di Architettura e (come riscaldamento) di Chimica/Biologia/Scienze Naturali/Geologia.
lavoro ed energia #1
esercizio 1: la panca piana
. Le braccia di Marco sono lunghe 
. Assumendo che l’attrezzo si muova solo verticalmente, rimanendo sempre orizzontale, determina:
- quanto lavoro compie Marco durante la fase di salita;
- quanto lavoro compie Marco durante la fase di discesa;
- quanto lavoro compie la forza peso durante la fase di salita;
- quanto lavoro compie la forza peso durante la fase di discesa;
- stabilisci, infine, se è possibilie svolgere l’esercizio con velocità costante.
soluzione
;
; aggiungiamo
.
;
;
;
;- è ragionevole ipotizzare che la velocità del bilanciere sia costante durante l’esercizio?
Calcolo del lavoro
Pertanto il lavoro compiuto da Marco è positivo nella fase di salita, durante la quale il lavoro della forza peso è negativo. In questa fase, Marco aumenta l’energia potenziale del bilanciere.
Durante la discesa, l’energia potenziale dell’attrezzo diminuisce, perché questo si sposta verso il basso e la sua possibilità di trasformare l’energia potenziale in cinetica (ed eventualmente compiere lavoro su altri corpi) diminuisce.
Come osservato nell’articolo precedente su lavoro ed energia, non conosciamo i dettagli della forza esercitata da Marco sull’attrezzo; tuttavia, possiamo sempre calcolare il lavoro compiuto da questa forza sul bilanciere come variazione dell’energia potenziale del corpo. Lo spostamento verticale è pari alla lunghezza delle braccia di Marco.
![\[ L^s_M = \Delta E_P = mgh = F_P \cdot h = 340\,\textrm{N} \cdot 0.6\,\textrm{m} = 204\,\textrm{J} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-94dc94482f2e831b37a1672f2d289c69_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Se usi un dato in 
o 
anziché in 
e 
, il risultato non sarà in 
.Nella fase di discesa, il lavoro compiuto da Marco ha lo stesso valore assoluto, ma segno negativo (in un certo senso, Marco “subisce” la forza di gravità che fa scendere l’attrezzo). Allo stesso tempo, il lavoro fatto dalla forza peso è uguale, ma di segno opposto, a quello svolto da Marco. Pertanto:
![\[ L^d_M = -204\,\textrm{J} \, ; \quad L^s_P = -204\,\textrm{J} \, ; \quad L^d_P = +204\,\textrm{J} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-657738e6d1e7813281e89012076b5b26_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Velocità costante?
Per quanto riguarda la possibilità di svolgere l’esercizio (la panca piana) a velocità costante, tieni conto che alla fine della salita e della discesa la velocità cambia segno: quindi c’è sempre un istante di tempo nel quale la velocità è zero. Dovendo essere zero all’inizio e alla fine di ogni fase (salita o discesa) e essere ovviamente diversa da zero durante la salita/discesa, la velocità non può essere costante! Tuttavia, risolvendo l’esercizio (di Fisica) attraverso la conservazione dell’energia non è necessario conoscere i dettagli di come la velocità cambi. Come abbiamo visto, è sufficiente associare il lavoro compiuto/subito alla variazione di energia potenziale: questa variazione dipende esclusivamente dal fatto che l’attrezzo cambia posizione (altezza), ma non dal modo con il quale ciò avviene.lavoro ed energia #2
esercizio 2: salto in alto
- A quale altezza può arrivare l’atleta, se stacca da terra quando la sua velocità è di
? - Se parte da fermo, la rincorsa dura
e la sua massa è di 
, quale forza costante sarebbe necessario applicare per ottenere la stessa velocità al momento dello stacco da terra?
soluzione
;
; (l’atleta parte da fermo: anche questo è un dato!)
;
;- .
;
.
Altezza massima
Un istante prima di staccare da terra, l’atleta ha energia cinetica (corrispondente alla velocità
) e energia potenziale nulla (scegliendo il livello del suolo come riferimento). Salendo, questa energia viene “spesa” per guadagnare altezza (ovvero diventa energia potenziale). All’altezza massima, l’energia cinetica è zero (è stata spesa tutta). Possiamo quindi scrivere:
![\[ \frac{1}{2}\,m\,v^2_F = mgh_{MAX} \quad \Rightarrow \frac{1}{2}\,v^2_F = gh_{MAX} \quad \Rightarrow h_{MAX} = \frac{v^2_F}{2g} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc5943470d3f30bd350f926d4bc4a452_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
infatti si semplifica nell’uguaglianza precedente.: soggetto alla forza di gravità, il punto rallenta fino a fermarsi, per poi iniziare la discesa. Per sapere a quale altezza massima possa arrivare devo risolvere due equazioni: una per la velocità, l’altra per lo spazio percorso. Dette 
e 
velocità e altezza a un certo tempo 
, risulta:
Ricaviamo dalla prima il tempo 
necessario affinché la velocità diventi zero:
![\[ 0 = v_F - g \cdot t_{MAX} \Rightarrow t_{MAX}=\frac{v_F}{g} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75d0e63da197e89bbee3a9829452a38d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sostituendo questo valore nella seconda equazione, scritta quando il corpo si trovo all’altezza massima , troviamo:
![\[ h_{MAX} = v_F \cdot t_{MAX} - \frac{1}{2}\,g\cdot t^2_{MAX} = v_F \cdot \frac{v_F}{g} - \frac{1}{2}\,g\cdot \left(\frac{v_F}{g}\right)^2 \Rightarrow h_{MAX}=\frac{v^2_F}{2g} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4587c0acc0cc8fc95f7a6c0f72f41663_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Utilizzando il principio di conservazione dell’energia arriviamo allo stesso risultato con un numero inferiore di passaggi.
. Inseriamo i valori numerici per controllare se, con l’ipotesi iniziale (“tutta l’energia cinetica dovuta alla rincorsa viene convertita in energia potenziale”), questo semplice modello del salto in alto fornisca o meno un risultato ragionevole.
![\[ h_{MAX}=\frac{v^2_F}{2g} = \frac{(7\,\textrm{m/s})^2}{2\cdot 10\,\textrm{m/s}^2} \simeq \frac{49}{20}\,\textrm{m} = 2.45\,\textrm{m} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c38b74f9cd7efd5f335acf567ecc0746_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Questo risultato è identico al record mondiale di salto in alto (maschile): 
. Ovviamente il fatto che il nostro risultato sia numericamente uguale al record è un caso. Il modello è migliorabile in un paio di aspetti (a presto in un approfondimento!): tuttavia, era lecito immaginare che il risultato fosse in ogni caso dello stesso ordine di grandezza del valore correto, ovvero non dieci volte più grande (
) o dieci volte più piccolo (
).
Forza necessaria
Per calcolare la forza necessaria a fornire, nel tempo della rincorsa, la stessa velocità finale a un atleta di quella massa, dobbiamo partire dal Secondo Principio della Dinamica:
. Per valutare l’accelerazione necessaria, dobbiamo calcolare di quanto varia la velocità durante la rincorsa:
![\[ a \equiv \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_F-v_I}{\Delta t} = \frac{(7-0)\,\textrm{m/s}}{3.5\,\textrm{s}} = 2\,\textrm{m/s}^2 \, , \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5425a67ba056ddcb3a73ff429fe01d1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dalla quale ricaviamo poi facilmente
![\[ F = ma = 85\,\textrm{kg} \cdot 2\,\textrm{m/s}^2 = 170\,\textrm{N} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3652241b6bce6aafc62585fc657fd7e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Come sempre, tuttavia, visto che il valore dell’accelerazione non è richiesto, il mio consiglio è quello di sostituire i valori numerici solo all’ultimo passagio, procedendo il più possibile per via lettarale:
![\[ F=ma=m\frac{\Delta v}{\Delta t} = 85\,\textrm{kg} \cdot \frac{(7-0)\,\textrm{m/s}}{3.5\,\textrm{s}} = 170\,\textrm{N} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48c72215757c813f53a782122b9705f2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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Ovviamente condividendo l’articolo o il sito su Facebook e altri social mi aiuteresti a raggiungere più persone: grazie già da ora nel caso tu decidessi di farlo!
lavoro ed energia #3
esercizio 3: il portiere blocca il pallone
. La massa di un pallone da calcio è di circa 
.
- Quanto lavoro è necessario per fermare completamente il pallone?
- Perché ai portieri di calcio viene insegnato a tenere le braccia morbide (“accompagnare il pallone”) durante una parata, per bloccare il pallone?
soluzione
;
;
.
;- Perché è bene tenere le braccia morbide per bloccare il pallone?
Calcolo del lavoro
Il lavoro necessario è pari alla differenza di energia cinetica tra la “configurazione” iniziale (il pallone è in moto: ha velocità
) e quella finale (il pallone è fermo: ha ).
![\[ L = \Delta E_C = \frac{1}{2}mv^2_F-\frac{1}{2}mv^2_I = \frac{1}{2}\cdot 0.43\,\textrm{kg} \cdot \left( (0\,\textrm{m/s})^2-(22\,\textrm{m/s})^2 \right) \simeq -104 \,\textrm{J} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-58089e37c7d649ed8740c5aafc53798c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
braccia morbide o tese?
Notare che quando il pallone e le braccia vengono a contatto, ciascun corpo esercita sull’altro una forza. Per il Terzo Principio della Dinamica, queste forze sono uguale e contrarie (stessa direzione e verso opposto), e agiscono simultaneamente. Il pallone esercita sulle braccia una forza diretta verso il corpo del portiere; le braccia, una forza sul pallone diretta in verso opposto alla velocità di quest’ultimo. In questo caso, il pallone subisce una accelerazione negativa, con conseguente diminuzione della propria velocità, fino all’arresto completo. Per questo motivo il lavoro che abbiamo calcolato risulta negativo.
lavoro ed energia #4
esercizio 4: spostare un manubrio
, prima di 
in verticale per sollevarlo dalla rastrelliera, poi di 
in orizzontale per portarlo alla tua postazione di allenamento.
- Quanto lavoro compie la forza peso nel tratto verticale?
- Quanto lavoro compie la forza peso nel tratto orizzontale?
soluzione
;
;
.
;
.
Durante il tratto verticale, lo spostamento avviene nel verso opposto a quello della forza peso: questa è diretta verso il basso, lo spostamento verso l’alto. Pertanto il lavoro compiuto dalla forza peso è negativo:
![\[ L^v_P = \vec{F}_P \cdot \Delta \vec{h} = -mg \cdot \Delta h = - 8\,\textrm{kg} \cdot 10\,\textrm{N/kg} \cdot 0.2\,\textrm{m} = -16\,\textrm{J} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bb3fa999c9fad0134996351f64e687b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ L = \Delta E_P = \Delta (mgh) = mg \Delta h = +16\,\textrm{J} \, . \]](https://www.unpodifisica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-89b54ab69caff6d0004192af4d4830c9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nel tratto orizzontale forza peso e spostamento sono perpendicolari, quindi il lavoro compiuto è zero: del resto, la forza peso agisce solo in direzione verticale, pertanto spostare il manubrio in orizzontale non fa variare la sua energia potenziale.
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